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第 2 课时 切线的判定与性质
1．经过半径的__外端___，并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线．
2．圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径．
知识点 1：切线的判定
1．下列说法中，正确的是( D )
A．AB 垂直于⊙O 的半径，则 AB 是⊙O 的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
2．如图，△ABC 的一边 AB 是⊙O 的直径，请你添加一个条件，使 BC 是⊙O 的切线，你
所添加的条件为__∠ABC＝90°___．
3．如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在⊙O 上，AC＝CD，∠D＝30°.求证：
CD 是⊙O 的切线．
解：连接 OC.∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝30
°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线
4．(2014·孝感)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°.
(1)先作∠ABC 的平分线交 AC 边于点 O，再以点 O 为圆心，OC 为半径作⊙O；(要求：尺
规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)请你判断(1)中 AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．
解：(1)如图 (2)AB 与⊙O 相切．证明：作OD⊥AB 于点 D，∵BO 平分∠ABC，∠ACB＝90
°，OD⊥AB，∴OD＝OC，∴AB 与⊙O 相切
知识点 2：切线的性质
5．(2014·邵阳)如图，△ABC 的边 AC 与⊙O 相交于 C，D 两点，且经过圆心 O，边 AB
与⊙O 相切，切点为 B.已知∠A＝30°，则∠C 的大小是( A )
A．30° B．45° C．60° D．40°
,第 5 题图),第 6 题图),第 7 题图)
6．如图，⊙O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO＝5，PA 切⊙O 于 A 点，则 PA＝
__4___.
7．如图，已知△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 相切于点 A.若∠MAB＝302
°，则∠B＝__60°___.
8．如图，等腰△OAB 中，OA＝OB，以点 O 为圆心作圆与底边 AB 相切于点 C.求证：AC＝
BC.
解：∵AB 切⊙O 于点 C，∴OC⊥AB.∵OA＝OB，∴AC＝BC
9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于点 D，且 CO＝CD，则∠PCA
＝( D )
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
,第 9 题图),第 10 题图),第 11 题图)
10．如图，已知线段 OA 交⊙O 于点 B，且 OB＝AB，点 P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP
的最大值是( A )
A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点 A，点 C 是EB︵
的中点，则下列结论不成
立的是( D )
A．OC∥AE B．EC＝BC
C．∠DAE＝∠ABE D．AC⊥OE
12．(2014·自贡)如图，一个边长为 4 cm 的等边三角形 ABC 的高与⊙O 的直径相等．⊙O
与 BC 相切于点 C，与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为__3___cm.
,第 12 题图) ,第 13 题图)
13．如图，直线 PA 过半圆的圆心 O，交半圆于 A，B 两点，PC 切半圆于点 C，已知 PC＝
3，PB＝1，则该半圆的半径为__4___．
14．(2014·毕节)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 AC 为直径作⊙O 交 AB 于点
D，连接 CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD.
(2)若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与⊙O 相切？并说明理
由．
解：(1)∵AC 为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD
＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD (2)当点 M 是 BC 的中点时，直线 DM 与⊙O 相切．理由：如
图，连接 DO.∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点 M 是 BC 的中点，∴DM＝CM，∴∠4
＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线 DM 与⊙O 相切
15．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是 AB 延长线上的一个动点，过点 P 作⊙O 的切
线，切点为 C，∠APC 的平分线交 AC 于点 D，求∠CDP 的度数．
解：∵PC 是⊙O 的切线，∴OC⊥OP，即∠OCP＝90°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90
°，∴∠ACB－∠OCB＝∠OCP－∠OCB，即∠ACO＝∠BCP.又 OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠BCP
＝∠BAC.∵PD 是∠APC 的平分线，∴∠CPD＝∠APD.∵∠ABC＝∠CPD＋∠APD＋∠BCP，∠BAC
＋∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠CPD＋∠APD＋∠BCP＝90°，∴∠CDP＝∠APD＋∠BAC＝45° 3
16．(2014·德州)如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 BC 为 6 cm，D，E 分别是∠ACB 的
平分线与⊙O，AB 的交点，P 为 AB 延长线上一点，且 PC＝PE.
(1)求 AC，AD 的长；
(2)试判断直线 PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：(1)连接 BD.∵AB 是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在 Rt△ABC 中，AC＝ AB2－BC2
＝ 102－62＝8(cm)．∵CD 平分∠ACB，∴AD︵
＝BD︵
，∴AD＝BD.在 Rt△ABD 中，AD2＋BD2＝
AB2，∴AD＝
2
2 AB＝
2
2 ×10＝5 2(cm)
(2)直线 PC 与⊙O 相切．理由：连接OC.∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA.∵PC＝PE，∴∠PCE
＝∠PEC.∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE，∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE.∵CD 平分∠ACB，∴∠
ACE＝∠ECB，∴∠PCB＝∠CAE，∴∠PCB＝∠ACO.∵∠ACB＝90°，∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝
∠ACO＋∠OCB＝∠ACB＝90°，∴OC⊥PC，∴直线 PC 与⊙O 相切
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