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专题训练(二) 一元二次方程的实际应用
一、循环、传播问题
1．我们知道，传销能扰乱一个地方正常的经济秩序且是国家法律明令禁止的，你了解
传销吗？某传销组织现有两名头目，他们计划每人发展若干数目的下线，每个下线成员再发
展同样数目的下线成员，经过两轮发展后共有成员 114 人，每个人计划发展下线多少人？
解：设每个人计划发展下线 x 人，由题意得 2＋2x＋2x2＝114，解得 x1＝7，x2＝－8(不
合题意，舍去)，∴每个人计划发展下线 7 人
2．参加一次篮球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛 30 场，共有多少个队参
加比赛？
解：设共有 x 个队参加比赛，由题意得 x(x－1)＝30，解得 x1＝6，x2＝－5(不合题意，
舍去)，∴x＝6，则共有 6 个队参加比赛
二、增长率与利润问题
3．(2014·桂林)电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行
车经销商 1 月至 3 月统计，该品牌电动自行车 1 月销售 150 辆，3 月销售 216 辆．
(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率．
(2)若该品牌电动自行车的进价为 2300 元，售价为 2800 元，则该经销商 1 月至 3 月共
盈利多少元？
解：(1)设月平均增长率为 x，由题意得 150(1＋x)2＝216，解得 x1＝0.2，x2＝－2.2(不
合题意，舍去)，∴x＝0.2＝20%，即月平均增长率为 20% (2)由(1)得 2 月份的销售量为
150×(1＋20%)＝180，则 1 月至 3 月的销售总量为 150＋180＋216＝546(辆)，∴1 月至 3 月
共盈利(2800－2300)×546＝27300(元)
4．某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价格售出 200
个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销量，决定降
价销售(根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进价)，单价降
低 x 元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格全部售出，如果这
批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
解：由题意得 200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－200－(200＋50x)]
＝1250，整理得 x2－2x＋1＝0，解得 x1＝x2＝1，∴10－x＝9，则第二周的销售价格为 9 元 2
5.某楼盘准备以每平方米 5000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出
台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以
每平方米 4050 元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案
以供选择：①打 9.8 折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月
1.5 元．请问哪种方案更优惠？
解：(1)设平均每次降价的百分率为 x，依题意得 5000(1－x)2＝4050，解得 x1＝10%，x2
＝
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10(不合题意，舍去)，则平均每次降价的百分率为 10%
(2)方案①的房款是 4050×100×0.98＝396900(元)，另外需在两年内付物业管理费 1.5
×100×12×2＝3600(元)；方案②的房款是 4050×100＝405000(元)，故在同等条件下方案
①需付款 396900＋3600＝400500(元)．∵400500＜405000，∴选方案①更优惠
三、几何图形问题
6．如图，AO＝OB＝50 cm，OC 是一条射线，OC⊥AB，一蚂蚁由 A 以 2 cm/s 的速度向 B
爬行，同时另一蚂蚁由 O 点以 3 cm/s 的速度沿 OC 方向爬行，问几秒钟后两蚂蚁与 O 点组成
的三角形面积等于 450 cm2?
解：分两种情况讨论：(1)当由 A 点出发的蚂蚁到达 O 点之前，设离开 A 点 t s 后，两
蚂蚁与 O 点组成的三角形面积等于 450 cm2，根据题意得
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2(50－2t)·3t＝450，整理得 t2－
25t＋150＝0，解得 t1＝15，t2＝10；(2)当由 A 点出发的蚂蚁爬完 OA 这段距离用了
50
2 ＝25(s)
后，开始由 O 向 B 爬行，设从 O 点开始 x 秒钟后，两蚂蚁与 O 点组成的三角形面积等于 450
cm2，根据题意得
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2·2x·3(25＋x)＝450，整理得 x2＋25x－150＝0，解得 x1＝5，x2＝－30(不
合题意，舍去)，当 x＝5 时，x＋25＝30，这只蚂蚁已由 A 点爬行了 30 s．综上可知，分别
在 10 s，15 s，30 s 时，两蚂蚁与 O 点组成的三角形面积等于 450 cm2
7．在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积
的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意见，你认3
为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请你设计出草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明．
解：(1)不符合．设小路宽度均为 x m，根据题意得(16－2x)(12－2x)＝
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2×16×12，解
得 x1＝2，x2＝12，但 x2＝12 不符合题意，应舍去，∴x＝2，故小芳的方案不符合条件，小
路的宽度均为 2 m (2)答案不唯一，略
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