1
22．1.3 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质
第 1 课时 二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质
1．二次函数 y＝ax2＋k 的图象是一条__抛物线___．它与抛物线 y＝ax2 的__形状___相
同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．
2．二次函数 y＝ax2＋k 的图象可由抛物线 y＝ax2__平移___得到，当 k＞0 时，抛物线 y
＝ax2 向上平移__k___个单位得 y＝ax2＋k；当 k＜0 时，抛物线 y＝ax2 向__下___平移|k|个
单位得 y＝ax2＋k.
知识点 1：二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质
1．抛物线 y＝2x2＋2 的对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，2)___，它与抛物线 y＝
2x2 的形状__相同___．
2．抛物线 y＝－3x2－2 的开口向__下___，对称轴是__y 轴___，顶点坐标是__(0，－
2)___．
3．若点(x1，y1)和(x2，y2)在二次函数 y＝－
1
2x2＋1 的图象上，且 x1＜x2＜0，则 y1 与
y2 的大小关系为__y1＜y2___．
4．对于二次函数 y＝x2＋1，当 x＝__0___时，y 最__小___＝__1___；当 x__＞0___时，
y 随 x 的增大而减小；当 x__＜0___时，y 随 x 的增大而增大．
5．已知二次函数 y＝－x2＋4.
(1)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？
(2)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大？
(3)当 x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？
(4)求图象与 x 轴、y 轴的交点坐标．
解：(1)x＞0 (2)x＜0 (3)x＝0 时，y 最大＝4
(4)与 x 轴交于(－2，0)，(2，0)，与 y 轴交于(0，4)
知识点 2：二次函数 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 之间的平移
6．将二次函数 y＝x2 的图象向上平移 1 个单位，则平移后的抛物线的解析式是__y＝x2
＋1___．
7．抛物线 y＝ax2＋c 向下平移 2 个单位得到抛物线 y＝－3x2＋2，则 a＝__－3___，c＝
__4___．
8．在同一个直角坐标系中作出 y＝
1
2x2，y＝
1
2x2－1 的图象．
(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2)抛物线 y＝
1
2x2－1 与抛物线 y＝
1
2x2 有什么关系？
解：(1)图象略，y＝
1
2x2 开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标(0，0)；y＝
1
2x2－1 开口2
向上，对轴轴为 y 轴，顶点坐标(0，－1) (2)抛物线 y＝
1
2x2－1 可由抛物线 y＝
1
2x2 向下平
移 1 个单位得到
知识点 3：抛物线 y＝ax2＋k 的应用
9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y＝－
1
5x2＋3.5 的一部分．若命
中篮圈中心，则她与篮底的距离 l 是( B )
A．3.5 m B．4 m
C．4.5 m D．4.6 m3
10．如果抛物线 y＝x2＋2 向下平移 1 个单位，那么所得新抛物线的解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3
11．已知 y＝ax2＋k 的图象上有三点 A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且 y2＜y3＜y1，
则 a 的取值范围是( A )
A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0
12．已知抛物线 y＝－x2＋2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，则△ABC 的面积
为__2 2___．
13．若抛物线 y＝ax2＋c 与抛物线 y＝－4x2＋3 关于 x 轴对称，则 a＝__4___，c＝__－
3___．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋3 与 y 轴交于 A，过点 A 作与 x 轴平
行的直线交抛物线 y＝
1
3x2 于点 B，C，则 BC 的长度为__6___．
15．直接写出符合下列条件的抛物线 y＝ax2－1 的函数关系式：
(1)经过点(－3，2)；
(2)与 y＝
1
2x2 的开口大小相同，方向相反；
(3)当 x 的值由 0 增加到 2 时，函数值减少 4.
解：(1)y＝
1
3x2－1
(2)y＝－
1
2x2－1
(3)－x2－1
16．把 y＝－
1
2x2 的图象向上平移 2 个单位．
(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出平移后的函数图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的 x 的值．
解：(1)y＝－
1
2x2＋2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是 y 轴 (2)图象略 (3)x＝0 时，y
有最大值，为 2
17．已知抛物线的对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，2)，且经过(1，3)，求此抛物线的解
析式．
解：设抛物线解析式为 y＝ax2＋k，将(0，2)，(1，3)代入 y＝ax2＋k，得 k＝2，a＝1，∴4
y＝x2＋2
18．若二次函数 y＝ax2＋c，当 x 取 x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当 x 取 x1＋x2
时，函数值为( D )
A．a＋c B．a－c C．－c D．c
19．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线
对应的函数关系式为 y＝－
1
40x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面 AB 高为 8
米的点 E，F 处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．( 5≈2.24，结果精确到 1 米)
解：由题意得点 E，F 的纵坐标为 8，把 y＝8 代入 y＝－
1
40x2＋10，解得 x＝4 5或 x＝－
4 5，EF＝|4 5－(－4 5)|＝8 5≈18(米)，即这两盏灯的水平距离约为 18 米
微信/支付宝扫码支付