1
专题训练(六) 利用旋转证明或计算
一、利用旋转进行计算
1．如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上，且 AO＝3，点 P 是 AB 上的一动点，
连接 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD，要使点 D 恰好落在 BC 上，求 AP
的长．
解：易证△APO≌△COD，∴AP＝OC，又∵AC＝9，AO＝3，∴AP＝OC＝6
2．如图，正方形 ABCD 的边长为 6，将其绕点 A 顺时针旋转 30°得到正方形 AEFG，FG
与 BC 相交于点 H.
(1)求证：BH＝GH；
(2)求 BH 的长．
解：(1)连接 AH，依题意，得正方形 ABCD 与正方形 AEFG 全等，∴AB＝AG，∠B＝∠G＝
90°，可证 Rt△ABH≌Rt△AGH，∴BH＝GH
(2)∵∠1＝30°，△ABH≌△AGH，∴∠2＝∠3＝30°，设 BH＝x，AH＝2x，在 Rt△ABH
中，BH2＋AB2＝AH2，即 x2＋62＝(2x)2，∴x＝2 3，∴BH＝2 3
3．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜
边 AB＝6，DC＝7.把三角板 DCE 绕着点 C 顺时针旋转 15°得到△D1CE1(如图②)，求线段 AD1
的长度．
解：易求∠OFE1＝120°，∴∠D1FO＝60°，∵∠CD1F＝30°，∴∠COB＝90°.∵∠BCE12
＝15°，∴∠BCD1＝45°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°.又∵AC＝BC，AB＝6，∴OA
＝OB＝3，∵∠ACB＝90°，∴CO＝3，又∵CD 1＝7，∴OD1＝CD1－OC＝7－3＝4，在 Rt△AD1O
中，AD1＝ OA2＋OD12＝5
4．在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60
°得到线段 BD.
(1)如图①，直接写出∠ABD 的大小；(用含 α 的式子表示)
(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE 的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接 DE，若∠DEC＝45°，求 α 的值．
解：(1)∠ABD＝30°－
α
2 (2)△ABE 是等边三角形．证明：连接 AD，CD，∠DBC＝60
°，BD＝BC，∴△BDC 是等边三角形，∠BDC＝60°，BD＝DC，又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△ABD
≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC，∴∠ADB＝150°，∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，
又∵BD＝BC，∠ADB＝∠ECB＝150°，∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB，∴△ABE 是等边三角形
(3)∵BDC 是等边三角形，∴∠BCD＝60°，∴∠DCE＝∠BCE－∠BCD＝90°，又∵∠DEC＝45
°，∴CE＝CD＝BC.∴∠EBC＝15°.∵∠EBC＝∠ABD＝30°－
α
2 ，∴α＝30° 3
二、利用旋转进行证明
5．某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含 60°角的直角三角
板 ABC 与 AFE 按如图①所示位置放置．现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α(0°＜
α＜90°)，如图②，AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P.
(1)求证：AM＝AN；
(2)当旋转角 α＝30°时，四边形 ABPF 会是什么样的特殊四边形？并说明理由．
解：(1)由旋转可知，AB＝AF，∠BAM＝∠FAN，∠B＝∠F＝60°，∴△ABM≌△AFN(ASA)，∴
AM＝AN (2)当旋转角 α＝30°时，四边形 ABPF 是菱形．理由：连接 AP，∵∠α＝30°，∴∠
FAN＝30°，∴∠FAB＝120°，∵∠B＝60°，∴AF∥BP，∴∠F＝∠FPC＝60°，∴∠FPC＝∠B
＝60°，∴AB∥FP，∴四边形 ABPF 是平行四边形，∵AB＝AF，∴平行四边形 ABPF 是菱形
6．(1)如图①，在△ABC 中，BA＝BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE＝
1
2∠ABC(0
°＜∠CBE＜
1
2∠ABC)．以点 B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC，得到△
BE′A(点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E′处)，连接 DE′.求证：DE′＝DE.
(2)如图②，在△ABC 中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE
＝
1
2∠ABC(0°＜∠CBE＜45°)．求证：DE2＝AD2＋EC2.
解：(1)∵△BE′A是由△BEC 以点 B 为旋转中心，按逆时针方向旋转而得到，∴BE＝BE′，
∠CBE＝∠ABE′，∠E′BE＝∠ABC.∵∠DBE＝
1
2∠ABC，∴∠DBE＝∠DBE′，又∵BD＝BD，BE
＝BE′，∴△DBE≌△DBE′，∴DE′＝DE (2)将△CBE 以点 B 为中心按逆时针方向旋转 90
°，得到△ABF，则 AF＝CE，∠FAB＝∠C.∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°.∴∠
FAD＝90°.∴DF2＝AD2＋AF2＝AD2＋CE2.由(1)知 DF＝DE，故 DE2＝AD2＋EC2
7．如图①，点 A 是线段 BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形．
(1)连接 BE，CD，求证：BE＝CD；
(2)如图②，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为__60___度时，边 AD′落在边 AE 上；
②在①的条件下，延长 DD′交 CE 于点 P，连接 BD′，CD′，当线段 AB，AC 满足什么4
数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．
解：(1)∵△ACE，△ABD 都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠
BAD＋∠DAE＝∠CAE＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC，∴△BAE≌△DAC，∴BE＝CD (2)②当 AC＝
2AB 时，△BDD′与△CPD′全等，证明：由旋转可知 AB′与 AD 重合，∴AB＝BD＝DD′＝
AD′，∴四边形 ABDD′是菱形，∴∠ABD′＝∠DBD′＝
1
2∠ABD＝30°，DP∥BC.∵△ACE 是
等边三角形，∴AC＝AE，∠ACE＝60°.∵AC＝2AB，∴AE＝2AD′，∴∠PCD′＝∠ACD′＝
1
2
∠ACE＝30°，∴DP∥BC，∴∠ABD′＝∠DBD′＝∠BD′D＝∠ACD′＝∠PCD′＝∠PD′C＝30
°，∴BD′＝CD′，∴△BDD′≌△CPD′
微信/支付宝扫码支付