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第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．设一个正方形的边长为 x，则该正方形的面积 y＝__x2___，其中变量是__x，y___，
__y___是__x___的函数．
2．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(__a，b，c 为常数且 a≠0___)的函数，叫做二次函数，
其中 x 是自变量，a，b，c 分别为二次项系数、一次项系数、常数项．
知识点 1：二次函数的定义
1．下列函数是二次函数的是( C )
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1
C．y＝x2＋2 D．y＝0.5x－2
2．下列说法中，正确的是( B )
A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数
B．在圆的面积公式 S＝πr2 中，S 是 r 的二次函数
C．y＝
1
2(x－1)(x＋4)不是二次函数
D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若 y＝(a＋3)x2－3x＋2 是二次函数，则 a 的取值范围是__a≠－3___．
4．已知二次函数 y＝1－3x＋2x 2，则二次项系数 a＝__2___，一次项系数 b＝__－
3___，常数项 c＝__1___．
5．已知两个变量 x，y 之间的关系式为 y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.
(1)当__a≠2___时，x，y 之间是二次函数关系；
(2)当__a＝2 且 b≠－2___时，x，y 之间是一次函数关系．
6．已知两个变量 x，y 之间的关系为 y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若 x，y 之间是二次函
数关系，求 m 的值．
解：根据题意，得 m2－2＝2，且 m－2≠0，解得 m＝－2
知识点 2：实际问题中的二次函数的解析式
7．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品
售价为 x 元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数 y 元与售价 x 元的函数关系式
为( B )
A．y＝－10x2－560x＋7350
B．y＝－10x2＋560x－7350
C．y＝－10x2＋350x＋7350
D．y＝－10x2＋350x－7350
8．某车的刹车距离 y(m)与开始刹车时的速度 x(m/s)之间满足二次函数 y＝
1
20x2(x＞0)，
若该车某次的刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为( C )
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资
金与上月相比增长率都是 x，则该厂今年三月份新产品的研发资金 y(元)关于 x 的函数关系2
式为 y＝__a(1＋x)2___．
10．多边形的对角线条数 d 与边数 n 之间的关系式为__d＝
1
2n2－
3
2n___，自变量 n 的取
值范围是__n≥3 且为整数___；当 d＝35 时，多边形的边数 n＝__10___．
11．如图，有一个长为 24 米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度 a 为 10 米)围成的中间
隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
(1)求 S 与 x 的函数关系式；
(2)如果要围成面积为 45 平方米的花圃，AB 的长为多少米？
解：(1)S＝x(24－3x)，即 S＝－3x2＋24x (2)当 S＝45 时，－3x2＋24x＝45，解得 x1＝
3，x2＝5，当 x＝3 时，24－3x＝15＞10，不合题意，舍去；当 x＝5 时，24－3x＝9＜10，
符合题意，故 AB 的长为 5 米
3
12．已知二次函数 y＝ x2－2x－2，当 x＝2 时，y＝__－2___；当 x＝__3 或－1___时，
函数值为 1.
13．边长为 4m 的正方形中间挖去一个边长为 x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的
面积为 y(m2)，则 y 与 x 之间的函数关系式为__y＝16－x2(0＜x＜4)___，它是__二次___函
数．
14．设 y＝y1－y2，y1 与 x 成正比例，y2 与 x2 成正比例，则 y 与 x 的函数关系是( C )
A．正比例函数 B．一次函数
C．二次函数 D．以上都不正确
15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本 y(元)与它的面积成正比，设边长为 x 厘
米，当 x＝3 时，y＝18，那么当成本为 72 元时，边长为( A )
A．6 厘米 B．12 厘米
C．24 厘米 D．36 厘米
16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为
180 cm，高为 20 cm.设底面的宽为 x，抽屉的体积为 y 时，求 y 与 x 之间的函数关系式．(材
质及其厚度等暂忽略不计)
解：根据题意得 y＝20x(90－x)，
整理得 y＝－20x2＋1800x
17．某商店经营一种小商品，进价为 2.5 元，据市场调查，销售单价是 13.5 元时，平
均每天销售量是 500 件，而销售单价每降低 1 元，平均每天就可以多售出 100 件．假定每件
商品降价 x 元，商店每天销售这种小商品的利润是 y 元，请写出 y 与 x 之间的函数关系式，
并注明 x 的取值范围．
解：降低 x 元后，所销售的件数是(500＋100x)，
则 y＝(13.5－2.5－x)(500＋100x)，
即 y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．一块矩形的草坪，长为 8 m，宽为 6 m，若将长和宽都增加 x m，设增加的面积为 y
m2.
(1)求 y 与 x 的函数关系式；
(2)若使草坪的面积增加 32 m2，求长和宽都增加多少米？
解：(1)y＝x2＋14x(x≥0)
(2)当 y＝32 时，x2＋14x＝32，x1＝2，x2＝－16(舍去)，即长和宽都增加 2 m 4
19．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点 P 从点 A 开始沿边 AB
向 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向 C 以 4 mm/s 的速度
移动(不与点 C 重合)．如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，设运动的时间为 x s，四边形 APQC
的面积为 y mm2.
(1)求 y 与 x 之间函数关系式；
(2)求自变量 x 的取值范围；
(3)四边形 APQC 的面积能否等于 172 mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理
由．
解：(1)由运动可知，AP＝2x，BQ＝4x，则 y＝
1
2BC·AB－
1
2BQ·BP＝
1
2×24×12－
1
2×4x(12
－2x)，即 y＝4x2－24x＋144
(2)0＜x＜6 (3)当 x＝172 时，4x2－24x＋144＝172，解得 x1＝7，x2＝－1.又∵0＜x＜
6，∴四边形 APQC 的面积不能等于 172 mm2
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