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专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点，连半径，证垂直
(一)利用角度转换证垂直
1．如图，AB 是⊙O 的弦，OD⊥OB，交 AB 于 E，且 AD＝ED.求证：AD 是⊙O 的切线．
解：连接 OA.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.又∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，而∠DEA＝
∠BEO，∠B＋∠BEO＝90°，∴∠DAE＋∠OAB＝90°，∴OA⊥AD，∴AD 是⊙O 的切线
2．如图，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.求证：PA 是⊙O 的切线．
解：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACP
＝
1
2∠AOP＝30°，又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°，∴∠PAO＝90°，∴OA⊥AP，∴PA 是
⊙O 的切线
(二)利用全等证垂直
3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC⊥AB 于点 B，连接 OC，弦 AD∥OC.求证：CD 是⊙O 的切
线．
解：连接 OD.由 SAS 证△CBO≌△CDO，得∠CDO＝∠CBO＝90°，∴CD⊥OD，∴CD 是⊙O
的切线 2
(三)利用勾股定理逆定理证垂直
4．如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上一点，点 C 为⊙O 上一点，PC＝8，PB＝
4，AB＝12.求证：PC 是⊙O 的切线．
解：连接 OC.根据题意，可得 OC＝6，PO＝10，PC＝8，∴OC2＋PC2＝PO2，∴△POC 为直
角三角形且∠PCO＝90°，∴OC⊥CP，∴PC 是⊙O 的切线 3
二、无交点，作垂直，证半径
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心的圆与 AB 相切于点 E.求
证：AC 与⊙D 相切．
解：连接 DE，过 D 作 DF⊥AC 于 F，易证△BDE≌△CDF，∴DF＝DE，∴AC 与⊙O 相切
6．如图，同心圆 O，大圆的弦 AB＝CD，且 AB 是小圆的切线，切点为 E.求证：CD 是小
圆的切线．
解：连接 OE，过 O 作 OF⊥CD 于 F.∵AB 与小⊙O 切于点 E，∴OE⊥AB，∵AB＝CD，∴OE
＝OF，∴CD 与小⊙O 相切
7．如图，AB 是⊙O 的直径，AM，BN 分别切⊙O 于点 A，B，CD 交 AM，BN 于点 D，C，DO
平分∠ADC.
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若 AD＝4，BC＝9，求⊙O 的半径 R.
解：(1)过 O 作 OE⊥CD 于点 E.∵AM 切⊙O 于点 A，∴OA⊥AD，又∵DO 平分∠ADC，∴OE4
＝OA，∴CD 是⊙O 的切线 (2)过 D 点作 DF⊥BC 于点 F，易证四边形 ABFD 是矩形，∴AD＝BF，
AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9－4＝5.又∵AM，BN，CD 分别切⊙O 于点 A，B，E，∴
DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD＋BC＝4＋9＝13.在 Rt△DFC 中，DC2＝DF2＋FC2，∴DF＝12，∴
AB＝12，∴⊙O 的半径 R 是 6
三、与切线证明方法有关的综合问题
8．(2014·江西)如图①，AB 是⊙O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上，AB＝4，BC＝2，P
是⊙O 上半部分的一个动点，连接 OP，CP.
(1)求△OPC 的最大面积；
(2)求∠OCP 的最大度数；
(3)如图②，延长 PO 交⊙O 于点 D，连接 DB，当 CP＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．
解：(1)△OPC 的边长 OC 是定值，∴当 OP⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC
的面积最大．∵AB＝4，BC＝2，∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4，∴S△OPC＝
1
2·OC·OP＝
1
2×4×2
＝4，即△OPC 的最大面积为 4 (2)当 PC 与⊙O 相切，即 OP⊥PC 时，∠OCP 的度数最大，可
求∠OCP＝30°
(3)连接 AP，BP.∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB.∵CP＝DB，∴AP＝PC，∴∠A＝∠C.∵∠A
＝∠D，∴∠C＝∠D.∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD，∴∠OPC＝∠PBD.∵PD 是⊙O
的直径，∴∠PBD＝90°，∴∠OPC＝90°，∴OP⊥PC.又∵OP 是⊙O 的半径，∴CP 是⊙O 的
切线
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