1
22．1.2 二次函数 y＝ax2 的图象和性质
1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___．
2．一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是__一条直线___．
3．二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐
标为__(0，0)___．
4．抛物线 y＝ax2 与 y＝－ax2 关于__x___轴对称．抛物线 y＝ax2，当 a＞0 时，开口向
__上___，顶点是它的最__低___点；当 a＜0 时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，
随着|a|的增大，开口越来越__小___．
知识点 1：二次函数 y＝ax2 的图象及表达式的确定
1．已知二次函数 y＝x2，则其图象经过下列点中的( A )
A．(－2，4) B．(－2，－4)
C．(2，－4) D．(4，2)
2．某同学在画某二次函数 y＝ax2 的图象时，列出了如下的表格：
x －3 －2.5 －1 0 1 2.5 3
y 36 25 4 0 4 25 36
(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是__y＝4x2___；
(2)将表格中的空格补全．
3．已知二次函数 y＝ax2 的图象经过点 A(－1，－
1
3)．
(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；
(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．
解：(1)y＝－
1
3x2，图象略
(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴是 y 轴
知识点 2：二次函数 y＝ax2 的图象和性质
4．对于函数 y＝4x2，下列说法正确的是( B )
A．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
B．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小
C．y 随 x 的增大而减小
D．y 随 x 的增大而增大
5．已知点(－1，y1)，(2，y2)，(－3，y3)都在函数 y＝x2 的图象上，则( A )
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
6．已知二次函数 y＝(m－2)x2 的图象开口向下，则 m 的取值范围是__m＜2___．2
7．二次函数 y＝－
1
2x2 的图象是一条开口向__下___的抛物线，对称轴是__y 轴___，顶
点坐标是__(0，0)___；当 x__＞0___时，y 随 x 的增大而减小；当 x＝0 时，函数 y 有__最
大___(填“最大”或“最小”)值是__0___．
8．如图是一个二次函数的图象，则它的解析式为__y＝
1
2x2___，当 x＝__0___时，函数
图象的最低点为__(0，0)___．
9．已知二次函数 y＝mxm2－2.
(1)求 m 的值；
(2)当 m 为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出 x 取何值时，y 随 x
的增大而减小；
(3)当 m 为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出 x 取何值时，y
随 x 的增大而增大．
解：(1)m＝±2
(2)m＝2，y 最小＝0；x＜0
(3)m＝－2，最高点(0，0)，x＜0
3
10．二次函数 y＝
1
5x2 和 y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对
称轴都是 y 轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当 x＞0 时，它们的函数值 y 都是随着 x 的增
大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( C )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
11．已知 a≠0，同一坐标系中，函数 y＝ax 与 y＝ax2 的图象有可能是( C )
12．如图是下列二次函数的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较 a，
b，c，d 的大小，用“＞”连接为__a＞b＞d＞c___．
,第 12 题图) ,第 14 题图)
13．当 a＝__4___时，抛物线 y＝ax2 与抛物线 y＝－4x2 关于 x 轴对称；抛物线 y＝－7x2
关于 x 轴对称所得抛物线的解析式为__y＝7x2___；当 a＝__±2___时，抛物线 y＝ax2 与抛
物线 y＝－2x2 的形状相同．
14．已知二次函数 y＝2x2 的图象如图所示，将 x 轴沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后与
抛物线交于 A，B 两点，则△AOB 的面积为__2___．
15．已知正方形的周长为 C(cm)，面积为 S(cm2)．
(1)求 S 与 C 之间的函数关系式；
(2)画出所示函数的图象；
(3)根据函数图象，求出 S＝1 cm2 时正方形的周长；
(4)根据列表或图象的性质，求出 C 取何值时 S≥4 cm2?
解：(1)S＝
1
16C2(C＞0) (2)图象略 (3)由图象可知，当 S＝1 cm2 时，正方形周长 C
是 4 cm
(4)当 C≥8 cm 时，S≥4 cm2
16．二次函数 y＝ax2 与直线 y＝2x－1 的图象交于点 P(1，m)．
(1)求 a，m 的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大；
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴．4
解：(1)将(1，m)代入 y＝2x－1 得 m＝2×1－1＝1，所以 P 点坐标为(1，1)．将 P 点坐
标(1，1)代入 y＝ax2 得 1＝a×12，∴a＝1 (2)y＝x2，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 (3)
顶点坐标为(0，0)，对称轴为 y 轴
17．如图，抛物线 y＝x2 与直线 y＝2x 在第一象限内有一个交点 A.
(1)你能求出 A 点坐标吗？
(2)在 x 轴上是否存在一点 P，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你求出点 P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意得{y＝x2，
y＝2x，解得{x1＝0，
y1＝0，{x2＝2，
y2＝4，∴A(2，4)
(2)存在满足条件的点 P.当 OA＝OP 时，∵OA＝ 22＋42＝2 5，∴P1(－2 5，0)，P2(2
5，0)；当 OA＝AP 时，过 A 作 AQ⊥x 轴于 Q，∴PQ＝OQ＝2，∴P3(4，0)；当 PA＝PO 时，
设 P 点坐标为(x，0)，则 x2＝(x－2)2＋42，解得 x＝5，∴P4(5，0)．综上可知，所求 P 点
的坐标为 P1(－2 5，0)，P2(2 5，0)，P3(4，0)，P4(5，0)
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