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24．1.3 弧、弦、圆心角
1．圆既是轴对称图形，又是__中心___对称图形，__圆心___就是它的对称中心．
2．顶点在__圆心___的角叫圆心角．
3．在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的__弧___相等，且所对的弦也__相等___．
4．在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦中，有一组量是相等的，则它们
所对应的其余各组量也分别__相等___．
知识点 1：认识圆心角
1．如图，不是⊙O 的圆心角的是( D )
A．∠AOB B．∠AOD
C．∠BOD D．∠ACD
,第 1 题图) ,第 3 题图)
2．已知圆 O 的半径为 5 cm，弦 AB 的长为 5 cm，则弦 AB 所对的圆心角∠AOB＝__60°
___．
3．(2014·菏泽)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点 C 为圆心，BC 为半
径的圆交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，则BD︵
的度数为__50°___．
知识点 2：弧、弦、圆心角之间的关系
4．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C，D 是BE︵
上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE 是
( C )
A．40° B．60°
C．80° D．120°
,第 4 题图) ,第 5 题图)
5．如图，已知 A，B，C，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D )
①AB︵
＝CD︵
； ②BD︵
＝AC︵
；
③AC＝BD； ④∠BOD＝∠AOC.
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC，CD，DA 是⊙O 的弦，且 BC＝CD＝DA，则∠BCD 的度数
为( C )
A．100° B．110°
C．120° D．135°
,第 6 题图) ,第 7 题图)
7．如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB︵
与 2 CD︵
的大小关系为( C )
A.AB︵
＞2CD︵
B.AB︵
＜2CD︵
C.AB︵
＝2CD︵
D．不能确定
8．如图，已知 D，E 分别为半径 OA，OB 的中点，C 为AB︵
的中点．试问 CD 与 CE 是否相
等？说明你的理由．
解：相等．理由：连接 OC.∵D，E 分别为⊙O 半径 OA，OB 的中点，∴OD＝
1
2AO，OE＝
1
2
BO.∵OA＝OB，∴OD＝OE.∵C 是AB︵
的中点，∴AC︵
＝BC︵
，∴∠AOC＝∠BOC.又∵OC＝OC，∴△DCO
≌△ECO(SAS)，∴CD＝CE
23
9．如图，在⊙O 中，AB︵
＝AC︵
，∠B＝70°，则∠A＝__40°___．
,第 9 题图) ,第 10 题图)
10．如图，AB 是半圆 O 的直径，E 是 OA 的中点，F 是 OB 的中点，ME⊥AB 于点 E，NF⊥
AB 于点 F.在下列结论中：①AM︵
＝MN︵
＝BN︵
；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.正确的有
__①②③___．
11．如图，A，B，C，D 在⊙O 上，且AB︵
＝2CD︵
，那么( C )
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD
D．AB 与 2CD 大小不能确定
12．如图，在⊙O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，且 AC＝BD，求证：AB＝CD.
解：∵AC＝BD，∴AC︵
＝BD︵
，∴AB︵
＝CD︵
，∴AB＝CD
13．如图，以▱ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 AD，BC 于 E，F，延长 BA 交⊙A
于 G，求证：GE︵
＝EF︵
.
解：连接 AF，∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠GAE＝∠B，∠EAF＝
∠AFB.又∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴GE︵
＝EF︵
14．如图，AB 是⊙O 的直径，AC︵
＝CD︵
，∠COD＝60°.
(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
解：(1)△AOC 是等边三角形．理由：∵AC︵
＝CD︵
，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△
AOC 是等边三角形
(2)∵AC︵
＝CD︵
，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD4
＝OB，∴△ODB 为等边三角形，∴∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠COD＝60°，∴OC∥BD
15．如图，在△AOB 中，AO＝AB，以点 O 为圆心，OB 为半径的圆交 AB 于 D，交 AO 于点
E，AD＝BO.试说明BD︵
＝DE︵
，并求∠A 的度数．
解：设∠A＝x°.∵AD＝BO，又 OB＝OD，∴OD＝AD，∴∠AOD＝∠A＝x°，∴∠ABO＝∠ODB
＝∠AOD＋∠A＝2x°.∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO＝2x°，从而∠BOD＝2x°－x°＝x°，即
∠BOD＝∠AOD，∴BD︵
＝DE︵
.由三角形的内角和为 180°，得 2x＋2x＋x＝180，∴x＝36，则∠A
＝36°
16．如图，MN 是⊙O 的直径，MN＝2，点 A 在⊙O 上，AN︵
的度数为 60°，点 B 为AN︵
的中
点，P 是直径 MN 上的一个动点，求 PA＋PB 的最小值．
解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′.因为圆是轴对称图形，所以点 B′在圆上．连接
AB′，与 MN 的交点为 P 点，此时 PA＋PB 最短，ABB′⌒所对的圆心角为 90°，连接 OB′，
则∠AOB′＝90°，∴AB′＝ AO2＋OB′2＝ 2，∴PA＋PB＝AB′＝ 2，即 PA＋PB 的最小
值为 2
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