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第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为__2___的整式方程叫做一元二次方
程．
2．一元二次方程的一般形式为__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)___．
3．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的__解___，也叫做
一元二次方程的__根___．
知识点 1：一元二次方程的概念
1．下列方程是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0 B．3x2－2x＝3(x2－2)
C．x3－2x－4＝0 D．(x－1)2－1＝0
2．关于 x 的一元二次方程(a－3)x2＋x＋a2－9＝0，其中 a 的取值范围为( C )
A．a＞3 B．a≥3
C．a≠3 D．a＜3
3．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m__≠±2___时，它是一元二次
方程；当 m__＝－2___时，它是一元一次方程．
知识点 2：一元二次方程的一般形式
4．方程 3x2＝5x－1 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数
项分别是( B )
A．3，5，－1 B．3，－5，1
C．3，－5，－1 D．3，5，1
5．将一元二次方程 2y2－1＝ 5y 化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数
和常数项．
解：一般形式为 2y2－ 5y－1＝0，其中二次项系数是 2，一次项系数是－ 5，常数项
是－1
知识点 3：一元二次方程的解(根)
6．下列关于 x 的方程中，一定有实数根－1 的是( C )
A．x2－x＋2＝0 B．x2＋x－2＝0
C．x2－x－2＝0 D．x2＋1＝0
7．(2014·长沙)已知关于 x 的一元二次方程 2x 2－3kx＋4＝0 的一个根是 1，则 k＝
__2___．
知识点 4：用一元二次方程刻画实际问题中的数量关系
8．用 10 米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为 6 平方米．若设它的一条边长为
x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( B )
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
9．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为 54，求正方体的边长 x；
解：6x2＝54，一般形式为 6x2－54＝0 2
(2)x 个球队参加篮球赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，一共进行了 30 场比赛，
求参赛的篮球队数 x.
解：
1
2x(x－1)＝30，一般形式为
1
2x2－
1
2x－30＝0
10．下列是方程 3x2＋5x－2＝0 的解的是( C )
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
11．已知实数 a，b 满足 a2－3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，则关于一元二次方程 x2－3x＋1
＝0 的根的说法中正确的是( D )
A．x＝a，x＝b 都不是该方程的解
B．x＝a 是该方程的解，x＝b 不是该方程的解
C．x＝b 是该方程的解，x＝a 不是该方程的解
D．x＝a，x＝b 都是该方程的解
12．若关于 x 的一元二次方程为 ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是 x＝1，则 2015－a－
b 的值是( A )
A．2020 B．2010
C．2016 D．2014
13．若方程(m－2)x2＋ mx＝1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是__m≥0
且 m≠2___．
14．小明用 30 厘米的铁丝围成一斜边长等于 13 厘米的直角三角形，设该直角三角形的
一边长 x 厘米，则另一边长__(17－x)___厘米，列方程得__x2＋(17－x)2＝132___．
15．如图，矩形 ABCD 是由三个矩形拼接成的，AB＝8，阴影部分的面积是 24，另外两
个小矩形全等．设小矩形的长为 x，则可列出的方程为__x(2x－8)＝24___．
16．分别根据下列条件，写出一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般形式．
(1)a＝5，b＝－4，c＝－1；
(2)二次项系数为 3，一次项系数为－7，常数项为 2.
解：(1)5x2－4x－1＝0
(2)3x2－7x＋2＝0
17．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式．3
(1)一个微信群里共有 x 个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条信息，这样
共有 756 条消息；
(2)两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数．
解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0
(2)设这两个连续奇数分别为 n，n＋2，则 n2＋(n＋2)2＝130，2n2＋4n－126＝0
18．关于 x 的方程(a－3)x|a|－1＋x－5＝0 是一元二次方程，求 a 的值．
解：由定义可得{|a|－1＝2，
a－3 ≠ 0，解得 a＝－3
19．已知 k 是方程 x2－101x＋1＝0 的一个不为 0 的根，不解方程，你能求出 k2－100k＋
101
k2＋1的值吗？如果能，请写出解答过程；如果不能，请说明理由．(用方程根的定义解答)
解：∵k2－101k＋1＝0，∴k2－100k＝k－1，k2＋1＝101k，原式＝k－1＋
1
k＝
k2＋1
k －1＝
101k
k －1＝100
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