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24．1.2 垂直于弦的直径
1．圆是__轴对称___图形，任何一条__直径___所在的直线都是它的对称轴．
2．(1)垂径定理：垂直于弦的直径__平分___弦，并且__平分___弦所对的两条弧；
(2)推论：平分弦(非直径)的直径__垂直___于弦并且__平分___弦所对的两条弧．
3．在圆中，弦长 a，半径 R，弦心距 d，它们之间的关系是__(
1
2a)2＋d2＝R2___．
知识点 1：认识垂径定理
1．(2014·毕节)如图，已知⊙O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB 的距离是
( B )
A．6 B．5 C．4 D．3
,第 1 题图),第 3 题图),第 4 题图)
2．CD 是⊙O 的一条弦，作直径 AB，使 AB⊥CD，垂足为 E，若 AB＝10，CD＝8，则 BE 的
长是( C )
A．8 B．2 C．2 或 8 D．3 或 7
3．(2014·北京)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足是 E，∠A＝22.5°，OC＝4，
则 CD 的长为( C )
A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
4．如图，在⊙O 中，直径 AB⊥弦 CD 于点 M，AM＝18，BM＝8，则 CD 的长为__24___．
知识点 2：垂径定理的推论
5．如图，一条公路弯道处是一段圆弧(图中的弧 AB)，点 O 是这条弧所在圆的圆心，点
C 是AB︵
的中点，半径 OC 与 AB 相交于点 D，AB＝120 m，CD＝20 m，则这段弯道的半径是( C )
A．200 m B．200 3 m C．100 m D．100 3 m
,第 5 题图) ,第 6 题图)
6．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 互相垂直，D，E 分别为 AB，AC 的中点，则四边形 OEAD
为( C )
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．梯形
知识点 3：垂径定理的应用
7．如图是一个圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面 AB 宽为 8cm，水
的最大深度为 2 cm，则输水管的半径为( C )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
,第 7 题图) ,第 8 题图)
8．古题今解：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
问径几何？”这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，AB 为⊙O 的直径，
弦 CD⊥AB 于点 E，AE＝1 寸，CD＝10 寸，则直径 AB 的长为__26___寸．
9．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面 AB 宽为 2 米，净高 5 米，求圆拱形门所在圆
的半径是多少米？
解：连接 OA.∵CD⊥AB，且 CD 过圆心 O，∴AD＝
1
2AB＝1 米，∠CDA＝90°.在 Rt△OAD
中，设⊙O 的半径为 R，则 OA＝OC＝R，OD＝5－R.由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2，即 R2＝(5
－R)2＋12，解得 R＝2.6，故圆拱形门所在圆的半径为 2.6 米
2
10．如图，已知⊙O 的半径为 5，弦 AB＝6，M 是 AB 上任意一点，则线段 OM 的长可能是
( C )
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
,第 10 题图) ,第 11 题图)
11．(2014·黄冈)如图，在⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若∠BAD＝30°，且 BE
＝2，则 CD＝__4 3___．
12．已知点 P 是半径为 5 的⊙O 内一点，OP＝3，则过点 P 的所有弦中，最长的弦长为
__10___；最短的弦长为__8___．
13．如图，以点 P 为圆心的圆弧与 x 轴交于 A，B 两点，点 P 的坐标为(4，2)，点 A 的
坐标为(2，0)，则点 B 的坐标为__(6，0)___．
,第 13 题图) ,第 14 题图)
14．如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为 8，P 是⊙O 上一个动点(不与 A，B 重合)，过点 O
作 OC⊥AP 于点 C，OD⊥PB 于点 D，则 CD 的长为__4___．
15．如图，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB＝3 m，弓形的高 EF＝1 m，
现计划安装玻璃，请帮工人师傅求出AB︵
所在⊙O 的半径 r.
解：由题意知 OA＝OE＝r，∵EF＝1，∴OF＝r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝
1
2AB＝
1
2×3＝1.5.
在 Rt△OAF 中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52＝r2，解得 r＝
13
8 ，即圆 O 的半径为
13
8 米
16．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点 A，B，C.
(1)用尺规作图法找出BAC︵
所在圆的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)设△ABC 是等腰三角形，底边 BC＝8 cm，腰 AB＝5 cm，求圆片的半径 R.
解：(1)分别作 AB，AC 的垂直平分线，其交点 O 为所求圆的圆心，图略 (2)连接 AO
交 BC 于 E.∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝
1
2BC＝4.在 Rt△ABE 中，AE＝ AB2－BE2＝ 52－42＝
3.连接 OB，在 Rt△BEO 中，OB2＝BE2＋OE2，即 R2＝42＋(R－3)2，解得 R＝
25
6 ，即所求圆片
的半径为
25
6 cm
17．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距
离为( D )
A．17 cm B．7 cm
C．12 cm D．17 cm 或 7 cm
18．如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F，AO⊥BC，垂足为 E，BC＝2 3.
(1)求 AB 的长；
(2)求⊙O 的半径．
解：(1)连接 AC，∵CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，∴AF＝BF，∴AC＝BC.延长 AO 交⊙O 于
G，则 AG 为⊙O 的直径，又 AO⊥BC，∴BE＝CE，∴AC＝AB，∴AB＝BC＝2 3 (2)由(1)知 AB3
＝BC＝AC，∴△ABC 为等边三角形，∴∠OAF＝30°，在 Rt△OAF 中，AF＝ 3，可求 OA＝2，
即⊙O 的半径为 2
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