1
22．3 实际问题与二次函数
第 1 课时 二次函数与图形面积
1．求二次函数 y＝ax2＋bx＋c 最值的方法：
(1)用配方法将 y＝ax2＋bx＋c 化成 y＝a(x－h)2＋k 的形式，当自变量 x＝__h___时，
函数 y 有最大(小)值为__k___．
(2)用公式法，当 x＝__－
b
2a___时，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有最大(小)值__
4ac－b2
4a
___．
2．面积最值问题应该设图形一边长为__自变量___，所求面积为因变量，建立__二次函
数___的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的__取值范围___．
知识点 1：用配方法或公式法求二次函数的最大(小)值
1．当－2≤x≤3 时，二次函数 y＝x2－2x＋3 的最大值为__11___，最小值为__2___．
知识点 2：二次函数与图形面积问题
2．在一幅长 60 cm，宽 40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图
(如图)，如果要使整个挂图的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为 x cm，那么 y 与 x 之间的
函数关系是( A )
A．y＝(60＋2x)(40＋2x)
B．y＝(60＋x)(40＋x)
C．y＝(60＋2x)(40＋x)
D．y＝(60＋x)(40＋2x)
,第 2 题图) ,第 4 题图)
3．已知一个直角三角形两直角边之和为 20 cm，则这个直角三角形的最大面积为( B )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
4．用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户
的最大透光面积是( C )
A.
64
25 m2 B.
4
3 m2 C.
8
3 m2 D．4 m2
5．如图，利用一面墙(墙的长度不超过 45 m)，用 80 m 长的篱笆围一个矩形场地，当 AD
＝__20_m___时，矩形场地的面积最大，最大值为__800_m2___．
,第 5 题图) ,第 6 题图)
6．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 点
以 2 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 向 C 点以 1 cm/s 的速度移动，如果 P，Q 分别
同时出发，当△PBQ 的面积为最大时，运动时间 t 为__2___s.
7．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与
这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm2)随 x 的变化而变化．2
(1)S 与 x 之间的函数关系式为__S＝－
1
2x2＋20x___；
(2)当 x＝__20_cm___时，这个三角形面积 S 最大，最大面积是__200_cm2___．
8．如图，一个正方形纸板的边长为 10cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角
三角形(图中阴影部分)．设 AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，阴影部分的面积为 y(cm2)．
(1)求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围；
(2)当 x 取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
解：(1)y＝－2x2＋20x(0＜x＜10) (2)配方得 y＝－2(x－5)2＋50，∴当 x＝5 时，阴
影面积最大，y 最大＝50
9．将一条长 20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，
则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5_cm2___．
10．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12 cm，点 P 是 AB 边上的一个
动点，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E，PF⊥AC 于点 F，当 PB＝__6_cm___时，四边形 PECF 的面积
最大，最大值为__9 3_cm2___．
11．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰
好为 60 cm，菱形的面积 S(单位：cm2)随其中一条对角线的长 x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)
(2)当 x 是多少时，菱形风筝面积 S 最大？最大面积是多少？
解：(1)S＝－
1
2x2＋30x
(2)∵S＝－
1
2x2＋30x＝－
1
2(x－30)2＋450，且 a＝－
1
2＜0，∴当 x＝30 时，S 有最大值，
最大值为 450.即当 x 为 30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是 450 cm2
12．(2014·成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边
足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m.
(1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值；
(2)若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内(含
边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．3
解：(1)由 AB＝x，得 BC＝28－x，根据题意， 得 x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16
(2)S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵x≥6，28－x≥15，∴6≤x≤13.∵a＝－
1＜0，∴当 6≤x≤13 时，S 随 x 的增大而增大，∴当 x＝13 时，S 有最大值 195 m2
13．如图，等腰直角三角形 ABC 以 2 cm/s 的速度沿直线 m 匀速向正方形 CDEF 移动，直
到 AB 与 EF 重合．设移动 x s 时，三角形与正方形重合部分的面积为 y cm2.
(1)当 x＝2，7 时，y 的值分别为多少？
(2)求从开始移动时到 AB 与 EF 重合时，y 与 x 的函数关系式，并求出 x 的取值范围．
解：(1)当 x＝2 时，y＝8；当 x＝7 时，y＝42
(2)当 0＜x≤5 时，△ABC 与正方形 CDEF 重合部分是三角形，y＝2x2；当 5＜x＜10 时，△
ABC 与正方形 CDEF 重合部分是梯形，y＝－2x2＋20x，当 x＝0 和 10 时，重合部分的面积为
0，∴y＝{2x2（0 ≤ x ≤ 5），
－2x2＋20x（5＜x ≤ 10）
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