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第 3 课时 用一元二次方程解决几何图形问题
1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组
合、平移成规则图形，找出未知量与__已知量___的内在联系，根据__面积(体积)___公式列
出一元二次方程．
2．一个正方形的边长增加了 3 cm，面积相应增加了 39 cm2，则原来这个正方形的边长
为__5___cm.
知识点 1：一般图形的面积问题
1．一个面积为 35 m2 的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，则这个苗圃的长为( C )
A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m
2．(2014·襄阳)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形．设长方形的
长为 x cm，则可列方程为( B )
A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64
C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64
3．一个直角三角形的两条直角边相差 5 cm，面积是 7 cm2，这两条直角边长分别为__2_cm，
7_cm___．
4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个
矩形花园 ABCD(围墙 MN 最长可利用 25 m)，现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，试设计一
种砌法，使矩形花园的面积为 300 m2.
解：设 AB＝ x m，则 BC＝(50－2x) m，根据题意得 x(50－2x)＝300，解得 x1＝10，x2
＝15，当 x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25，故 x 1＝10 不合题意，舍去，∴x＝15，则可以
围成 AB 为 15 m，BC 为 20 m 的矩形
知识点 2：边框与通道问题
5．如图，在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余
下的部分种上花草．若种植花草的面积为 540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为 x m，根
据题意，所列方程正确的是( A )
A．(20－x)(32－x)＝540
B．(20－x)(32－x)＝100
C．(20＋x)(32－x)＝540
D．(20－x)(32＋x)＝540
,第 5 题图) ,第 6 题图)
6．(2014·兰州)如图，在一块长为 22 米，宽为 17 米的矩形地面上，要修建同样宽的
两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为
300 平方米，若设道路宽为 x 米，则根据题意可列出方程__(22－x)(17－x)＝300___．2
7．如图，某矩形相框长 26 cm，宽 20 cm，其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同，
都是 x cm，若相框内部的面积为 280 cm2，求相框边的宽度．
解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得 x2－23x＋60＝0，解得 x1＝3，x2＝20(不
合题意，舍去)，则相框边的宽度为 3 cm
8．从一块正方形的木板上锯掉 2 m 宽的长方形木条，剩下的面积是 48 m2，则原来这块
木板的面积是( B )
A．100 m2 B．64 m2
C．121 m2 D．144 m2
9．如图，正方形 ABCD 的边长是 1，E，F 分别是 BC，CD 上的点，且△AEF 是等边三角
形，则 BE 的长为( A )
A．2－ 3 B．2＋ 3
C．2＋ 5 D. 5－2
,第 9 题图) ,第 11 题图)
10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的矩形图案长 6 米、
宽 3 米，整个地毯的面积是 40 平方米，则花边的宽为__1___米．
11．如图，已知点 A 是一次函数 y＝x－4 图象上的一点，且矩形 ABOC 的面积等于 3，
则点 A 的坐标为__(3，－1)或(1，－3)___．
12．如图是一个矩形花园，花园的长为 100 米，宽为 50 米，在它的四角各建一个同样
大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部
分)种植的是不同花草．已知种植花草部分的面积为 3600 平方米，那么花园各角处的正方形
观光休息亭的边长为多少米？
解：设正方形观光休息亭的边长为 x 米，依题意得(100－2x)(50－2x)＝3600，整理得 x2
－75x＋350＝0，解得 x1＝5，x2＝70，∵x2＝70＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花
园各角处的正方形观光休息亭的边长为 5 米
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为 40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围
成一个正方形．3
(1)要使这两个正方形的面积之和等于 58 cm2，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2.”他的说法对吗？请
说明理由．
解：(1)设其中一个正方形的边长为 x cm，则另一个正方形的边长为(10－x) cm，由题
意得 x2＋(10－x)2＝58，解得 x1＝3，x2＝7，4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成
12 cm 和 28 cm 的两段 (2)假设能围成．由(1)得，x2＋(10－x)2＝48，化简得 x2－10x＋26
＝0，因为 Δ＝b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没有实数根，所以小峰
的说法是对的
14．如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向
点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 cm/s 的速度移动．
(1)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，△PBQ 的面积等于 4 cm2?
(2)如果点 P，Q 分别从点 A，B 同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5 cm?
(3)在问题(1)中，△PBQ 的面积能否等于 7 cm2？说明理由．
解：(1)设 x 秒后，△PBQ 的面积等于 4 cm2，根据题意得 x(5－x)＝4，解得 x1＝1，x2＝
4.∵当 x＝4 时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设 x 秒后，PQ 的长度等于 5
cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25，解得 x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设 x 秒后，△
PBQ 的面积等于 7 cm2，根据题意得 x(5－x)＝7，此方程无解，所以不能
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