1
21.3 实际问题与一元二次方程
第 1 课时 用一元二次方程解决传播问题
1．列一元二次方程可以解决许多实际问题，解题的一般步骤是：①审题，弄清已知量、
__未知量___；②设未知数，并用含有__未知数___的代数式表示其他数量关系；③根据题目
中的__等量关系___，列一元二次方程；④解方程，求出__未知数___的值；⑤检验解是否符
合问题的__实际意义___；⑥写出答案．
2．一个两位数，个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数为__10b＋a___，若交换
两个数位上的数字，则得到的新两位数为__10a＋b___．
知识点 1：倍数传播问题
1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、
支干和小分支的总数是 91，设每个支干长出小分支的个数为 x，则依题意可列方程为__1＋x
＋x2＝91___．
2．某生物实验室需培育一群有益菌．现有 60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达
24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？
解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌，根据题意得 60(1＋x)2＝
24000，解得 x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)，则每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 19
个有益菌 (2)60×(1＋19)3＝60×203＝480000(个)，则经过三轮培植后共有 480000 个有
益菌
知识点 2：握手问题
3．(2014·天津)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场．根据场地和
时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，
则 x 满足的关系式为( B )
A.
1
2x(x＋1)＝28 B.
1
2x(x－1)＝28
C．x(x＋1)＝28 D．x(x－1)＝28
4．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 210 次，设有 x 人参加这次聚
会，则依题意可列出方程为__
x（x－1）
2 ＝210___．
5．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束
后统计共签订了 78 份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
解：设有 x 家公司出席了这次交易会，根据题意得
1
2x(x－1)＝78，解得 x1＝13，x2＝－
12(不合题意，舍去)，故有 13 家公司出席了这次交易会
知识点 3：数字问题
6．两个连续偶数的和为 14，积为 48，则这两个连续偶数是__6 和 8___．
7．已知一个两位数比它的个位上的数的平方小 6，个位上的数与十位上的数的和是 13，
求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字为 x，则十位数字为(13－x)，由题意得 10(13－x)＋x＋6
＝x2，整理得 x2＋9x－136＝0，解得 x1＝8，x2＝－17(不合题意，舍去)，∴13－x＝5，则
这个两位数是 582
8．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠
了 132 件，如果全组有 x 名同学，则根据题意列出的方程是( B )
A．x(x＋1)＝132 B．x(x－1)＝132
C．x(x＋1)＝132×2 D．x(x－1)＝132×2
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了 15 条
航线，则这个航空公司共有飞机场( C )
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出 3×3 个位置相邻的 9 个
数(如 6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的 9 个数中，最大数与最小数的积为
192，则这 9 个数的和为( D )
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
A.32 B．126 C．135 D．144
11．一个直角三角形的三边长恰好是三个连续整数，若设较长的直角边长为 x，则根据
题意列出的方程为__x2＋(x－1)2＝(x＋1)2___．
12．某剧场共有 1050 个座位，已知每行的座位数都相同，且每行的座位数比总行数少
17，求每行的座位数．
解：设每行的座位数为 x 个，由题意得 x(x＋17)＝1050，解得 x1＝25，x2＝－42(不合
题 意，舍去)，则每行的座位数是 25 个
13．有人利用手机发微信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信，经过两轮微
信的发送，共有 56 人手机上获得同一条微信，则每轮一个人要向几个人发送微信？
解：设每轮一个人要向 x 个人发微信，由题意得 x(x＋1)＝56，解得 x1＝7，x2＝－8(不
合题意，舍去)，则每轮一个人要向 7 个人发送微信
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，则 1＋x＋x(x＋1)＝64，解得 x1＝7，
x2＝－9(不合题意，舍去)，即每轮传染中平均一个人传染 7 个人 (2)64×7＝448(人)
15．读诗词解题：(通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；3
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
解：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x，则十位数字为 x－3，由题意得 10(x－3)＋x
＝x2，解得 x1＝5，x2＝6.当 x＝5 时，周瑜的年龄为 25 岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当 x＝6 时，周瑜的年龄为 36 岁，符合题意，则周瑜去世时的年龄为 36 岁
16．(1)n 边形(n＞3)其中一个顶点的对角线有__(n－3)___条；
(2)一个凸多边形共有 14 条对角线，它是几边形？
(3)是否存在有 21 条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理
由．
解：(2)设这个凸多边形是 n 边形，由题意得
n（n－3）
2 ＝14，解得 n1＝7，n2＝－4(舍
去)，则这个多边形是七边形 (3)不存在．理由：假设存在 n 边形有 21 条对角线，由题意
得
n（n－3）
2 ＝21，解得 n＝
3 ± 177
2 ，因为多边形的边数为正整数，但
3 ± 177
2 不是
正整数，故不合题意，所以不存在有 21 条对角线的凸多边形
微信/支付宝扫码支付