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21．2.3 因式分解法
1．当一元二次方程的一边为 0，另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，通常将一
元二次方程化为__两个一次因式___的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，
从而实现降次，这种解法叫做__因式分解___法．
2．解一元二次方程，首先看能否用__直接开平方法___；再看能否用__因式分解法___；
否则就用__公式法___；若二次项系数为 1，一次项系数为偶数可先用__配方法___．
知识点 1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0 的解是( C )
A．x＝2 B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3
2．一元二次方程 x(x－5)＝5－x 的根是( D )
A．－1 B．5
C．1 和 5 D．－1 和 5
3．(2014·永州)方程 x2－2x＝0 的解为__x1＝0，x2＝2___．
4．方程 x2－2x＋1＝0 的根是__x1＝x2＝1___．
5．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4＝0；
解：x1＝2，x2＝－2
(2)x2－2 3x＝0；
解：x1＝0，x2＝2 3
(3)(3－x)2－9＝0；
解：x1＝0，x2＝6
(4)x2－4x＋4＝(3－2x)2.
解：x1＝1，x2＝
5
3
知识点 2：用适当的方法解一元二次方程
6．解方程(x＋1)2－5(x＋1)＋6＝0 时，我们可以将 x＋1 看成一个整体，设 x＋1＝y，
则原方程可化为 y2－5y＋6＝0，解得 y1＝2，y2＝3.当 y＝2 时，即 x＋1＝2，解得 x＝1；
当 y＝3 时，即 x＋1＝3，解得 x＝2，所以原方程的解为 x1＝1，x2＝2.利用这种方法求方程
(2x－1)2－4(2x－1)＋3＝0 的解为( C )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－1，x2＝－3
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－1
7．用适当的方法解方程：
(1)2(x－1)2＝12.5；
解：用直接开平方法解，x1＝3.5，x2＝－1.5
(2)x2＋2x－168＝0；
解：用配方法解，x1＝12，x2＝－14 2
(3) 2x2＝2x；
解：用因式分解法解，x1＝0，x2＝ 2
(4)4x2－3x－2＝0.
解：用公式法解，x1＝
3＋ 41
8 ，x2＝
3－ 41
8 3
8．方程 x(x－1)＝－x＋1 的解为( D )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x1＝0，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝－1
9．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( A )
A．(2x＋2)(3x＋4)＝0 化为 2x＋2＝0 或 3x＋4＝0
B．(x－3)(x＋1)＝1 化为 x－3＝1 或 x＋1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3 化为 x－2＝2 或 x－3＝3
D．x(x－2)＝0 化为 x－2＝0
10．一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的边长是方程(x－2)(x－4)＝0 的根，
则这个三角形的周长是( C )
A．11 B．11 或 13
C．13 D．以上都不对
11．(2014·陕西)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方程 x2－
5
2ax＋a2＝0 的一个根，则 a
的值是( B )
A．1 或 4 B．－1 或－4
C．－1 或 4 D．1 或－4
12．已知 x＝1 是关于 x 的方程(1－k)x 2＋k2x－1＝0 的根，则常数 k 的值为__0 或
1___．
13．已知(x2＋2x－3)0＝x2－3x＋3，则 x＝__2___．
14．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－3x＝x－4；
解：x1＝x2＝2
(2)(x－3)2＝3(x－3)．
解：x1＝3，x2＝6
15．用适当的方法解下列方程：
(1)4(x－1)2＝2；
解：x1＝
2＋2
2 ，x2＝
－ 2＋2
2
(2)x2－6x＋4＝0；
解：x1＝3＋ 5，x2＝3－ 5
(3)x2－4＝3x－6；
解：x1＝1，x2＝2
(4)(x＋5)2＋x2＝25.
解：x1＝－5，x2＝0 4
16．一跳水运动员从 10 m 高台上跳下，他离水面的高度 h(单位：m)与所用时间 t(单位：
s)的关系是 h＝－5(t－2)(t＋1)，那么运动员从起跳到入水所用的时间是多少？
解：依题意，得－5(t－2)(t＋1)＝0，解得 t1＝－1(不合题意，舍去)，t2＝2，故运动
员从起跳到入水所用的时间为 2 s
17．先阅读下列材料，然后解决后面的问题：
材料：因为二次三项式 x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，所以方程 x2＋(a＋b)x＋ab＝
0 可以这样解：∵(x＋a)(x＋b)＝0，∴x＋a＝0 或 x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b.
问题：
(1)用因式分解法解方程 x2－kx－16＝0 时，得到的两根均为整数，则 k 的值可以为__－
15，－6，0，6，15___；
(2)已知实数 x 满足(x2－x)2－4(x2－x)－12＝0，则代数式 x2－x＋1 的值为__7___．
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