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专题训练(三) 用待定系数法求二次函数解析式
一、已知三点求解析式
1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( D )
A．y＝2x2＋x＋2 B．y＝x2＋3x＋2
C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－3x＋2
2．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过 A，B，C 三点，求出抛物线的解析式．
解：将点 A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)三点的坐标代入 y＝ax2＋bx＋c 得
{a－b＋c＝0，
c＝－3，
16a＋4b＋c＝5，
解得
{a＝1，
b＝－2，
c＝－3，
所以抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3
二、已知顶点或对称轴求解析式
3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为 A(1，－4)，且过点 B(3，0)，求该二次
函数的解析式．
解：∵二次函数的图象顶点为 A(1，－4)，∴设 y＝a(x－1)2－4，将点 B(3，0)代入得
a＝1，故 y＝(x－1)2－4，即 y＝x2－2x－3
4．已知抛物线经过两点 A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线 x＝2，求其解析式．
解：∵抛物线对称轴是直线 x＝2 且经过点 A(1，0)，由抛物线的对称性可知：抛物线
还经过点(3，0)，设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)(x－3)，把(0，3)代入得 a＝1，∴抛物2
线的解析式为 y＝x2－4x＋3
三、已知抛物线与 x 轴的交点求解析式
5．已知抛物线与 x 轴的交点是 A(－2，0)，B(1，0)，且经过点 C(2，8)，则该抛物线
的解析式为__y＝2x2＋2x－4___．
6．如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与 x 轴的两个交点分别为 A(1，0)，B(3，0)，求这
条抛物线的解析式．
解：∵抛物线与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，∴抛物线的解析式可表示为 y＝－(x
－3)(x－1)，即 y＝－x2＋4x－3 3
四、已知几何图形求解析式
7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，边长为 2 的正方形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、
y 轴的正半轴上，二次函数 y＝－
2
3x2＋bx＋c 的图象经过 B，C 两点．求该二次函数的解析
式．
解：由题意，得
C(0，2)，B(2，2)，
∴{c＝2，
－
2
3 × 4＋2b＋c＝2，
解得{b＝
4
3，
c＝2，
所以该二次函数的解析式为 y＝－
2
3x2＋
4
3x＋2
五、已知面积求解析式
8．直线 l 过点 A(4，0)和 B(0，4)两点，它与二次函数 y＝ax2 的图象在第一象限内交
于点 P，若 S△AOP＝
9
2，求二次函数关系式．
解：易求直线 AB 的解析式为 y＝－x＋4，∵S△AOP＝
9
2，∴
1
2×4×yp＝
9
2，∴yp＝
9
4，∴
9
4＝－
x＋4，解得 x＝
7
4，把点 P 的坐标(
7
4，
9
4)代入 y＝ax2，解得 a＝
36
49，∴y＝
36
49x2 4
六、已知图形变换求解析式
9．已知抛物线 C1：y＝ax2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．
(1)求抛物线 C1 的解析式；
(2)将抛物线 C1 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线 C2 经过坐标原点，并写出 C2
的解析式．
解：(1)y＝x2－2x－3
(2)抛物线 C1 向左平移 3 个单位长度，可使得到的抛物线 C2 经过坐标原点，所求抛物线
C2 的解析式为 y＝x(x＋4)，即 y＝x2＋4x
七、运用根与系数的关系求解析式
10．已知抛物线 y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.
(1)直线 l：y＝－x＋2 是否经过抛物线的顶点；
(2)设该抛物线与 x 轴交于 M，N 两点，当 OM·ON＝4，且 OM≠ON 时，求出这条抛物线
的解析式．
解：(1)将 y＝－x2＋2mx－m2－m＋2 配方得 y＝－(x－m)2－m＋2，由此可知，抛物线的
顶点坐标是(m，－m＋2)，把 x＝m 代入 y＝－x＋2 得 y＝－m＋2，显然直线 y＝－x＋2 经过
抛物线 y＝－x2＋2mx－m2－m＋2 的顶点
(2)设 M，N 两点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1，x2 是方程－x2＋2mx－m2－m＋2＝0 的两
个实数根，∴x1x2＝m2＋m－2，∵OM·ON＝4, 即|x1x2|＝4，∴m2＋m－2＝±4.当 m2＋m－2＝
4 时，解得 m1＝－3，m2＝2，当 m＝2 时，可得 OM＝ON 不合题意，所以 m＝－3；当 m2＋m－2
＝－4 时，方程没有实数根，因此所求的抛物线的解析式只能是 y＝－x2－6x－4
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