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第 2 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与字母系数的关系
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的图象与字母系数 a，b，c 之间的关系：
(1)当 a＞0 时，开口__向上___，当 a＜0 时，开口__向下___；
(2)若对称轴在 y 轴的左边，则 a，b__同号___，若对称轴在 y 轴的右边，则 a，b__异
号___；
(3)若抛物线与 y 轴的正半轴相交，则 c__＞___0，若抛物线与 y 轴的负半轴相交，则 c__
＜___0，若抛物线经过原点，则 c__＝___0；
(4)当 x＝1 时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当 x＝－1 时，y＝ax 2＋bx＋c＝a－b＋c；
当 x＝2 时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当 x＝－2 时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；
(5)当对称轴 x＝1 时，x＝－
b
2a＝1，所以－b＝2a，此时 2a＋b＝0;当对称轴 x＝－1 时，
x＝－
b
2a＝－1，所以 b＝2a，此时 2a－b＝0；
(6)b2－4ac＞0⇔二次函数与横轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔二次函数与横轴有一个交
点；b2－4ac＜0⇔二次函数与横轴无交点．
知识点 1：二次函数图象与字母系数的关系
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( D )
A．a＞0 B．c＞0
C．b2－4ac＞0 D．a＋b＋c＞0
,第 1 题图) ,第 2 题图) ,第 4 题
图)
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是( D )
A．a＜0 B．b2－4ac＜0
C．当－1＜x＜3 时，y＞0 D．－
b
2a＝1
3．(2014·白银)二次函数 y＝x2＋bx＋c 中，若 b＋c＝0，则它的图象一定过点( D )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－1，－1) D．(1，1)
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若 M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P
＝2a－b，则 M，N，P 中，值小于 0 的数有( A )
A．3 个 B．2 个
C．1 个 D．0 个
知识点 2：函数图象的综合
5．若正比例函数 y＝mx(m≠0)，y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y＝mx2＋m 的图
象大致是( A )2
6．二次函数 y＝ax2＋bx 的图象如图所示，那么一次函数 y＝ax＋b 的图象大致是( C )
7．在同一坐标系内，一次函数 y＝ax＋b 与二次函数 y＝ax2＋8x＋b 的图象可能是( D )3
8．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( D )
A．ac＞0
B．当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3 是关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 11 题
图)
9．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为 x＝1.下列结论中错误
的是( D )
A．abc＜0 B．2a＋b＝0
C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0
10．已知二次函数 y＝kx2－7x－7 的图象和 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( D )
A．k＞－
7
4 B．k＞－
7
4且 k≠0
C．k≥－
7
4 D．k≥－
7
4且 k≠0
11．(2014·天津)已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，且关于 x 的一
元二次方程 ax2＋bx＋c－m＝0 没有实数根，有下列结论：①b2－4ac＞0；②abc＜0；③m＞
2.其中正确结论的个数是( D )
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于 y 轴的直线，
若点 P(4，0)在该抛物线上，则 4a－2b＋c 的值为__0___．
,第 12 题图) ,第 13 题图)
13．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象的顶点为点 D，其图象与 x 轴的交点
A，B 的横坐标分别为－1，3，与 y 轴负半轴交于点 C.在下面四个结论中：①2a－b＝0；②a
＋b＋c＞0；③c＝－3a；④只有当 a＝
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2时，△ABD 是等腰直角三角形．其中正确的结论是
__③④___．(只填序号)
14．如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，D 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的
顶点 B 在第一象限，若点 A 的坐标为(1，0)．试分别判断 a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－
b，a＋b＋c，a－b－c 的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称轴的位置可知：－
b
2a＜1，可得－b＞2a，∴4
2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
15．已知关于 x 的二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点 C(0，1)，且与 x 轴交
于不同的两点 A，B，点 A 的坐标是(1，0)．
(1)求 c 的值；
(2)求 a 的取值范围．
解：(1)c＝1 (2)由 C(0，1)，A(1，0)得 a＋b＋1＝0，故 b＝－a－1，由 b2－4ac＞0，
可得(－a－1)2－4a＞0，即(a－1)2＞0，故a≠1，又 a＞0，所以 a 的取值范围是 a＞0 且 a≠1
16．如图，直线 y＝x＋m 和抛物线 y＝x2＋bx＋c 都经过点 A(1，0)，B(3，2)．
(1)求 m 的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式 x2＋bx＋c＞x＋m 的解集；(直接写出答案)
(3)若 M(a，y1)，N(a＋1，y 2)两点都在抛物线 y＝x2＋bx＋c 上，试比较 y1 与 y2 的大
小．
解：(1)∵直线 y＝x＋m 经过点 A(1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1.∵抛物线 y＝x2＋bx＋
c 经过点 A(1，0)，B(3，2)，∴{0＝1＋b＋c，
2＝9＋3b＋c.解得{b＝－3，
c＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝x2－
3x＋2
(2)x＞3 或 x＜1 (3)∵M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在函数 y＝x2－3x＋2 的图象上，∴
y1＝a2－3a＋2，y2＝(a＋1)2－3(a＋1)＋2＝a2－a.y2－y1＝(a2－a)－(a2－3a＋2)＝2a－2，
∴当 2a－2＜0，即 a＜1 时，y1＞y2；当 2a－2＝0，即 a＝1 时，y1＝y2；当 2a－2＞0，即 a
＞1 时，y1＜y2
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