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22．1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
第 1 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可化为 y＝a(x＋
b
2a)2＋
4ac－b2
4a 的形式，它
的对称轴是__x＝－
b
2a___，顶点坐标是__(－
b
2a，
4ac－b2
4a )___．如果 a＞0，当 x＜－
b
2a时，
y 随 x 的增大而__减小___，当 x＞－
b
2a时，y 随 x 的增大而__增大___；如果 a＜0，当 x＜－
b
2a时，y 随 x 的增大而__增大___，当 x＞－
b
2a时，y 随 x 的增大而__减小___．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 y＝ax2 的图象__形状完全相同___，只是__
位置___不同；y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看成是 y＝ax2 的图象平移得到的，对于抛
物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．
知识点 1：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质
1．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有
( B )
A．最小值－3 B．最大值－3
C．最小值 2 D．最大值 2
2．(2014·成都)将二次函数 y＝x2－2x＋3 化为 y＝(x－h)2＋k 的形式，结果为( D )
A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2
3．若抛物线 y＝x2－2x＋c 与 y 轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是( C )
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是 x＝1
C．当 x＝1 时，y 的最大值为－4
D．抛物线与 x 轴的交点为(－1，0)，(3，0)
4．抛物线 y＝x2＋4x＋5 的顶点坐标是__(－2，1)___．
5．已知二次函数 y＝－2x2－8x－6，当__x＜－2___时，y 随 x 的增大而增大；当 x＝__
－2___时，y 有最__大___值是__2___．
知识点 2：二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的变换
6．抛物线 y＝－x2＋2x－2 经过平移得到 y＝－x2，平移方法是( D )
A．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
B．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
C．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
D．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
7．把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象
的解析式为 y＝x2－3x＋5，则( A )
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
8．如图，抛物线 y＝ax2－5ax＋4a 与 x 轴相交于点 A，B，且过点 C(5，4)．
(1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛
物线的解析式．2
解：(1)由抛物线过 C(5，4)得 25a－25a＋4a＝4，解得 a＝1，∴该二次函数的解析式
为 y＝x2－5x＋4.∵y＝x2－5x＋4＝(x－
5
2)2－
9
4，∴顶点坐标为 P(
5
2，－
9
4) (2)(答案不唯一，
合理即正确)如：先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的二次函数解析式为 y＝
(x－
5
2＋3)2－
9
4＋4，即 y＝(x＋
1
2)2＋
7
4，也即 y＝x2＋x＋2
9．(2014·河南)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A，B 两点．若点 A 的坐
标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线 x＝2，则线段 AB 的长为__8___．
10．二次函数 y＝2x2＋mx＋8 的图象如图所示，则 m 的值是( B )
A．－8 B．8 C．±8 D．6
,第 10 题图) ,第 12 题图)
11．已知二次函数 y＝－
1
2x2－7x＋
15
2 .若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且 0＜x1＜x2＜
x3，则对应的函数值 y1，y2，y3 的大小关系正确的是( A )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3
C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
12．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0 时，下列说法
正确的是( B )
A．有最小值－5，最大值 0
B．有最小值－3，最大值 6
C．有最小值 0，最大值 6
D．有最小值 2，最大值 6
13．如图，抛物线 y＝ax2＋bx 和直线 y＝ax＋b 在同一坐标系内的图象正确的是( D )3
14．已知二次函数 y＝x2－2kx＋k2＋k－2.
(1)当实数 k 为何值时，图象经过原点？
(2)当实数 k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
解：(1)∵图象过原点，∴k2＋k－2＝0，∴k1＝－2，k2＝1 (2)y＝x2－2kx＋k2＋k－2
＝(x－k)2＋k－2，其顶点坐标为(k，k－2)．∵顶点在第四象限内，∴{k＞0，
k－2＜0，∴0＜k＜
2
15．当 k 分别取－1，1，2 时，函数 y＝(k－1)x2－4x＋5－k 都有最大值吗？请写出你
的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
解：①当 k＝1 时，函数为 y＝－4x＋4，是一次函数，无最值；②当 k＝2 时，函数为 y
＝x2－4x＋3，为二次函数，此函数图象的开口向上，函数只有最小值而无最大值；③当 k＝－
1 时，函数为 y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数图象的开口向下，函数有最大值，因
为 y＝－2x2－4x＋6＝－2(x＋1)2＋8，所以当 x＝－1 时，函数有最大值，为 8
16．已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0，0)时，求二次函数的解析式；
(2)如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C，D 两点的坐标；
(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC＋PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点
坐标；若 P 点不存在，请说明理由．
解：(1)将(0，0)代入二次函数 y＝x2－2mx＋m2－1 中，得 0＝m2－1，解得 m＝±1，∴
二次函数的解析式为 y＝x2＋2x 或 y＝x2－2x (2)当 m＝2 时，二次函数解析式为 y＝x2－4x
＋3，即 y＝(x－2)2－1，∴C(0，3)，顶点坐标为 D(2，－1) (3)存在．连接 CD，根据“两
点之间，线段最短”可知，当点 P 位于 CD 与 x 轴的交点时，PC＋PD 最短．可求经过 C，D
两点的直线解析式为 y＝－2x＋3，令 y＝0，可得－2x＋3＝0，解得 x＝
3
2，∴当 P 点坐标为
(
3
2，0)时，PC＋PD 最短
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