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24．2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
1．如图，⊙O 的半径为 r.
(1)点 A 在⊙O 外，则 OA__＞___r；点 B 在⊙O 上，则 OB__＝___r；点 C 在⊙O 内，则 OC__
＜___r.
(2)若 OA＞r，则点 A 在⊙O__外___；若 OB＝r，则点 B 在⊙O__上___；若 OC＜r，则点
C 在⊙O__内___．
2．在同一平面内，经过一个点能作__无数___个圆；经过两个点可作__无数___个圆；
经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆．
3．三角形的外心是三角形外接圆的圆心，此点是__三边垂直平分线的交点___．
4．反证法首先假设命题的__结论___不成立，经过推理得出矛盾，由此判定假设__错误
___，从而得到原命题成立．
知识点 1：点与圆的位置关系
1．已知点 A 在直径为 8 cm 的⊙O 内，则 OA 的长可能是( D )
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
2．已知圆的半径为 6 cm，点 P 在圆外，则线段 OP 的长度的取值范围是__OP＞
6_cm___．
3．已知⊙O 的半径为 7 cm，点 A 为线段 OP 的中点，当 OP 满足下列条件时，分别指出
点 A 与⊙O 的位置关系：
(1)OP＝8 cm；(2)OP＝14 cm；(3)OP＝16 cm.
解：(1)在圆内 (2)在圆上 (3)在圆外
知识点 2：三角形的外接圆
4．如图，点 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝55°，则∠BOC＝__110°___．
5．直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上．若直角三角形两直角边长为 6 和
8，则该直角三角形外接圆的面积为__25π___．
6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( C )
A．任意三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
7．如图，一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口 A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，
请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．
解：图略．连接 AB，BC，分别作线段 AB，BC 的垂直平分线，且相交于点 O，点 O 即为
所求 2
知识点 3：反证法
8．用反证法证明：“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设( D )
A．相交
B．两条直线不垂直
C．两条直线不垂直于同一条直线
D．垂直于同一条直线的两条直线相交
9．用反证法证明：“△ABC 中至少有两个锐角”，第一步假设为__△ABC 中至多有一个
锐角___．
10．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线
平行．
已知：如图，直线 l1，l2 被 l3 所截，∠1＋∠2＝180°，求证：l1__∥___l2.
证明：假设 l1__不平行___l2，即 l1 与 l2 相交于一点 P，
则∠1＋∠2＋∠P__＝___180°(__三角形内角和定理___)，
所以∠1＋∠2__＜___180°，
这与__已知___矛盾，
故__假设___不成立，
所以__l1∥l2___．
11．在数轴上，点 A 所表示的实数为 3，点 B 所表示的实数为 a，⊙A 的半径为 2.下列
说法中，不正确的是( A )
A．当 a＜5 时，点 B 在⊙A 内
B．当 1＜a＜5 时，点 B 在⊙A 内
C．当 a＜1 时，点 B 在⊙A 外
D．当 a＞5 时，点 B 在⊙A 外
12．如图，△ABC 的外接圆圆心的坐标是__(－2，－1)___．
13．在平面直角坐标系中，⊙A 的半径是 4，圆心 A 的坐标是(2，0)，则点 P(－2，1)
与⊙A 的位置关系是__点 P 在⊙A 外___．
14．若 O 为△ABC 的外心，且∠BOC＝60°，则∠BAC＝__30°或 150°___.
15．如图，△ABC 中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点 C 为圆心作⊙C，半径为 r.
(1)当 r 在什么范围时，点 A，B 在⊙C 外？
(2)当 r 在什么范围时，点 A 在⊙C 内，点 B 在⊙C 外？
解：(1)0＜r＜3 (2)3＜r＜4
16．如图，⊙O′过坐标原点，点 O′的坐标为(1，1)，试判断点 P(－1，1)，Q(1，0)，
R(2，2)与⊙O′的位置关系．
解：点 P 在⊙O′外，点 Q 在⊙O′内，点 R 在⊙O′上 3
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树 A，B，C，小明想建一个圆形花
坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若在△ABC 中，AB＝8 米，AC＝6 米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：(1)用尺规作出两边的垂直平分线，交于 O 点，以 O 为圆心，OA 长为半径作出⊙O，⊙
O 即为所求作的花坛的位置(图略)
(2)25π平方米
18．如图①，在△ABC 中，BA＝BC，D 是平面内不与点 A，B，C 重合的任意一点，∠ABC
＝∠DBE，BD＝BE.
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)如图②，当点 D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形 BECD 的形状，并证明你的
结论．
解：(1)由 SAS 可证 (2)四边形 BECD 是菱形．证明：∵△ABD≌△CBE，∴CE＝AD.∵
点 D 是△ABC 的外接圆圆心，∴DA＝DB＝DC.又∵BD＝BE，∴BD＝BE＝EC＝CD，∴四边形 BECD
是菱形
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