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专题训练(九) 概率的求法及应用
一、用列举法求概率
(一) 两步概率
1．(2014·扬州)商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料，每种饮料数量充足，某
同学去该店购买饮料，每种饮料被选中的可能性相同．
(1)若他去买一瓶饮料，则他买到奶汁的概率是__
1
4___；
(2)若他两次去买饮料，每次买一瓶，且两次所买饮料品种不同，请用树状图或列表法
求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率．
解：画树状图(略)，∵共有 12 种可能的结果，他恰好买到雪碧和奶汁的有 2 种等可能
情况，∴P(他恰好买到雪碧和奶汁)＝
2
12＝
1
6
2．如图，管中放置着三根同样的绳子 AA1，BB1，CC1.
(1)小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子 AA1 的概率是多少？
(2)小明先从左端 A，B，C 三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端 A1，B1，C1 三个
绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率．
解：(1)P(恰好选中绳子 AA1)＝
1
3 (2)画树状图(略)，可知分别在两端随机任选两个绳
头打结，总共有 9 种等可能情况，其中能连接成一根长绳的有 6 种，故 P(这三根绳子连接
成一根长绳)＝
6
9＝
2
3
3．在一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，小明和小强
采取了不同的摸取方法，分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机地摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机地摸取一个小球，记下标号．
(1)用画树状图(或列表法)分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；- 2 -
(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于 5 的概率．
解：(1)略 (2)由树状图可知：小明摸取小球，可能出现的结果有 16 个，它们出现的
可能性相等，其中满足标号之和为 5(记为事件 A)的结果有 4 个，即(1，4)，(2，3)，(3，
2)，(4，1)，所以 P(A)＝
4
16＝
1
4；小强摸取小球，可能出现的结果有 12 个，它们出现的可
能性相等，其中满足标号之和为 5(记为事件 B)的结果有 4 个，即(1，4)，(2，3)，(3，2)，
(4，1)，所以 P(B)＝
4
12＝
1
3
4．(2014·黄冈)红花中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学
分别作为①号选手和②号选手代表学校参加全县汉字听写大赛．
(1)请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；
(2)求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
解：(1)画树状图(略)，一共有 12 种选派方案
(2)恰有一男一女参赛，共有 8 种可能，
∴P(一男一女)＝
8
12＝
2
3 - 3 -
(二) 三步概率
5．如图，用红、蓝两种颜色随机地对 A，B，C 三个区域分别进行涂色，每个区域必须
涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法(画树状图或列表)求 A，C 两个区域所涂颜色不相同
的概率．
解：画树状图(略)，所有等可能的情况有 8 种，其中 A，C 两个区域所涂颜色不相同的
有 4 种，则 P＝
4
8＝
1
2
6．两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同)，但是
他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案：
甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不
上车，而是仔细观察车的舒适状况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如
果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：
(1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？
(2)你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？
解：(1)略 (2)对于乙，共有 6 种等可能结果，乘上等车的有 3 种，所以乙乘上等车的
可能性为
3
6＝
1
2，而甲乘上等车的可能性为
1
3，故乙乘上等车的可能性大
二、概率的应用
7．某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘(如图，转盘被均匀分为 20 份)，
并规定：顾客每购买 200 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针
正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得 200 元、100 元、50 元的购物券，
凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券 30
元．- 4 -
(1)求转动一次转盘获得购物券的概率；
(2)转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？
解：(1)P(转动一次转盘获得购物券)＝
10
20＝
1
2
(2)200×
1
20＋100×
3
20＋50×
6
20＝40(元)．∵40元＞30 元，∴选择转转盘对顾客更合算
8．(2014·怀化)甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有 1，2，3 的大小和
形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
(1)求从袋中随机摸出一个球，标号是 1 的概率；
(2)从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一个球，若两次摸出的球的标
号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏
公平吗？请说明理由．
解：(1)P(标号是 1)＝
1
3 (2)这个游戏不公平，理由如下：列表(略)，P(和为偶数)＝
5
9，P(和为奇数)＝
4
9，二者不相等，说明游戏不公平 - 5 -
三、统计与概率
9．某校九年级有 10 个班，每班 50 名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的
阅读情况，准备抽取 50 名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅
读课外书籍本数为 n，当 0≤n＜5 时为一般读者；当 5≤n＜10 时为良好读者；当 n≥10 时
为优秀读者．
(1)下列四种抽取方法最具有代表性的是__B___；
A．随机抽取一个班的学生 B．随机抽取 50 名学生
C．随机抽取 50 名男生 D．随机抽取 50 名女生
(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取 50 名学生一学期阅读本数的数据如下：
8 10 6 9 7 16 8 11
0 13 10 5 8 2 6 9
7 5 7 6 4 12 10 11
6 8 14 15 7 12 13 8
9 7 10 12 11 8 13 10
4 6 8 13 6 5 7 11
12 9
根据以上数据回答下列问题：
①求样本中优秀读者的频率；
②估计该校九年级优秀读者的人数；
③在样本为一般读者的学生中随机抽取 2 人，用树状图或列表法求抽得 2 人的课外书籍
阅读本数都为 4 的概率．
解：①
2
5 ②200 人 ③
1
6
10．每年 3 月 12 日，是中国的植树节．某街道办事处为进一步改善人居环境，准备在
街道两边种植行道树，行道树的树种选择取决于居民的喜爱情况．为此，街道办事处的人员
随机调查了部分居民，并将结果绘成如图中扇形统计图，其中∠AOB＝126°.
请根据扇形统计图，完成下列问题：
(1)本次调查了多少名居民？其中喜爱“香樟”的居民有多少人？
(2)请将条形统计图补全；(在图中完成)
(3)某中学的一些同学也参与了投票，喜爱“小叶榕”的有四人，其中一名男生；喜爱“黄
葛树”的也有四人，其中三名男生．若街道办事处准备分别从这两组中随机选出一名同学参
与到街道植树活动中去，请你用列表或画树状图的方法求出所选两名同学恰好一名女生和一
名男生的概率．
解：(1)800 人；40 人 (2)补图略 (3)Error!
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