1
21．2.2 公式法
1 ． 一 元 二 次 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) ， 当 __b2 － 4ac≥0___ 时 ， x ＝
－b ± b2－4ac
2a ，这个式子叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的__求根公式___．
2．式子__b2－4ac___叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 根的判别式，常用Δ 表示，Δ＞
0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__有两个不等的实数根___；Δ＝0⇔ax 2＋bx＋c＝0(a≠0)有__
两个相等的实数根___；Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根___．
知识点 1：根的判别式
1．下列关于 x 的方程有实数根的是( C )
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
2．(2014·兰州)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，下列选
项中正确的是( B )
A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0 D．b2－4ac≥0
3．一元二次方程 x2－4x＋5＝0 的根的情况是( D )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)9x2－6x＋1＝0；
解：∵a＝9，b＝－6，c＝1，∴Δ＝(－6)2－4×9×1＝0，∴此方程有两个相等的实数
根
(2)8x2＋4x＝－3；
解：化为一般形式为 8x2＋4x＋3＝0，∵a＝8，b＝4，c＝3，∴Δ＝42－4×8×3＝－80
＜0，∴此方程没有实数根
(3)2(x2－1)＋5x＝0.
解：化为一般形式为 2x2＋5x－2＝0，∵a＝2，b＝5，c＝－2，∴Δ＝52－4×2×(－2)＝
41＞0，∴此方程有两个不相等的实数根
知识点 2：用公式法解一元二次方程
5 ．方 程 5x ＝2x 2 － 3 中 ，a ＝__2___ ，b ＝__ －5___ ，c ＝__ －3___ ，b 2 － 4ac＝
__49___．
6．一元二次方程 x2－x－6＝0 中，b 2－4ac＝__25___，可得 x 1＝__3___，x 2＝__－
2___．
7．方程 x2－x－1＝0 的一个根是( B )
A．1－ 5 B.
1－ 5
22
C．－1＋ 5 D.
－1＋ 5
2
8．用公式法解下列方程：
(1)x2－3x－2＝0；
解：x1＝
3＋ 17
2 ，x2＝
3－ 17
2
(2)8x2－8x＋1＝0；
解：x1＝
2＋ 2
4 ，x2＝
2－ 2
4
(3)2x2－2x＝5.
解：x1＝
1＋ 11
2 ，x2＝
1－ 11
2
9．(2014·广东)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实数
m 的取值范围为( B )
A．m＞
9
4 B．m＜
9
4
C．m＝
9
4 D．m＜－
9
4
10．若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x－1＝0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＞－1 B．k＜1 且 k≠0
C．k≥－1 且 k≠0 D．k＞－1 且 k≠0
11．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋b－1＝0 有两个相等的实数根，则 b 的值是
__2___．
12．关于 x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0 有实数根，则 a 满足的条件是__a≥－5___．
13．用公式法解下列方程：
(1)x(2x－4)＝5－8x；
解：x1＝
－2＋ 14
2 ，x2＝
－2－ 14
2
(2)(3y－1)(y＋2)＝11y－4.
解：y1＝
3＋ 3
3 ，y2＝
3－ 3
3
14．当 x 满足条件{x＋1＜3x－3，
1
2（x－4）＜
1
3（x－4）时，求出方程 x2－2x－4＝0 的根．
解：解不等式组得 2
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