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第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式
用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：
(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝ax2＋bx＋c___．
(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的
解析式为__y＝a(x－h)2＋k___．以下有三种特殊情况：
①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y＝ax2___；
②当已知抛物线的顶点在 y 轴上或以 y 轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物
线的解析式为__y＝ax2＋c___；
③当已知抛物线的顶点在 x 轴上，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－h)2___，其中(h，
0)为抛物线与 x 轴的交点坐标．
(3)交点式：已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的
坐标，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－x1)(x－x2)___．
知识点 1：利用“三点式”求二次函数的解析式
1．由表格中信息可知，若设 y＝ax2＋bx＋c，则下列 y 与 x 之间的函数关系式正确的
是( A )
x －1 0 1
ax2 1
ax2＋bx＋c 8 3
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4
C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
2．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这
个二次函数的解析式为__y＝x2－x－2___．
3．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c，当 x＝0 时，y＝1；当 x＝－1 时，y＝6；当 x＝1 时，
y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得{a＋b＋c＝0，
a－b＋c＝6，
c＝1，
解得{a＝2，
b＝－3，
c＝1，
∴二次函数的解析式为 y＝2x2－3x＋1
知识点 2：利用“顶点式”求二次函数的解析式
4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为( D )
A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝
2
9(x－1)2＋8
D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与 y 轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析
式．2
解：由题意，设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入得 3＝a(0－4)2－
1，解得 a＝
1
4，∴y＝
1
4(x－4)2－1
知识点 3：利用“交点式”求二次函数的解析式
6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝
1
2x2－x＋4
B．y＝－
1
2x2－x＋4
C．y＝
1
2x2＋x＋4
D．y＝－
1
2x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与 x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与 y
轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．
解：由题意，设二次函数解析式为 y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2)代入得－2＝－2a，∴
a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即 y＝x2－x－2
3
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( D )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－
1
2x2－
1
2x＋2
C．y＝－
1
2x2－
1
2x＋1
D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则 b，c 的值分别是( D )
A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－4
10．抛物线 y＝ax2＋bx＋c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是__①③④___．(填序号)
①抛物线与 x 轴的一个交点为(3，0)；
②函数 y＝ax2＋bx＋c 的最大值为 6；
③抛物线的对称轴是 x＝0.5；
④在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大．
11．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为 x＝1，且抛物线经过 A(－1，0)，
B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为__y＝x2－2x－3___．
12．将二次函数 y＝(x－1)2＋2 的图象沿 x 轴对折后得到的图象的解析式为__y＝－(x
－1)2－2___．
13．(2014·杭州)设抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过 A(0，2)，B(4，3)，C 三点，其中
点 C 在直线 x＝2 上，且点 C 到抛物线对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为__y＝
1
8x2－
1
4x＋2 或 y＝－
1
8x2＋
3
4x＋2___．
14．已知二次函数的图象的对称轴为 x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－
8)，求此二次函数的表达式．
解：由题意设 y＝a(x－1)2－6，∵图象经过点(2，－8)，∴－8＝a(2－1)2－6，解得 a
＝－2，∴y＝－2(x－1)2－6，即 y＝－2x2＋4x－8
15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与 x 轴交于 A，B 两
点．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)判断点 P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB 的面积；如
果不在，试说明理由．
解：(1)设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c，∵二次函数的图象经过点(0，3)，(－4
3，0)，(2，－5)，∴c＝3，∴{9a－3b＋3＝0，
4a＋2b＋3＝－5，解得{a＝－1，
b＝－2，∴y＝－x2－2x＋3 (2)∵
当 x＝－2 时，y＝－(－2) 2－2×(－2)＋3＝3，∴点 P(－2，3)在这个二次函数的图象
上．令－x2－2x＋3＝0，解得 x1＝－3，x2＝1，∴与 x 轴的交点为(－3，0)，(1，0)，∴AB
＝4，则 S△PAB＝
1
2×4×3＝6
16．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数
为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于 x 的二次函数 y1＝2x2－4mx＋2m2＋1 和 y2＝ax2＋bx＋5，其中 y1 的图象经
过点 A(1，1)，若 y1＋y2 与 y1 为“同簇二次函数”，求函数 y2 的解析式，并求出当 0≤x≤3
时，y2 的最大值．
解：(1)答案不唯一，符合题意即可，如 y1＝2x2，y2＝x2 (2)∵函数 y1 的图象经过点
A(1，1)，则 2－4m＋2m2＋1＝1，解得 m＝1，∴y1＝2x2－4x＋3，即 y1＝2(x－1)2＋1.∵y1＋
y2 与 y1 为“同簇二次函数”，∴可设 y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k＞0)，则 y2＝k(x－1)2＋1－y1，∴
y2＝(k－2)(x－1)2.由题意可知函数 y2 的图象经过点(0，5)，则(k－2)×12＝5，∴k－2＝
5，∴y2＝5(x－1)2，即 y2＝5x2－10x＋5.当 0≤x≤3 时，根据 y2 的函数解析式可知，y2 的
最大值＝5×(3－1)2＝20
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