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第 3 课时 二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象和性质
1．抛物线 y＝a(x－h)2＋k 与 y＝ax2 形状__相同___，位置__不同___，把抛物线 y＝ax2
向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线 y＝a(x－h) 2＋k，平移的方向、距离要根据
__h___，__k___的值来决定．
2．抛物线 y＝a(x－h)2＋k 有如下特点：①当 a＞0 时，开口向__上___；当 a＜0 时，
开口向__下___；②对称轴是直线__x＝h___；③顶点坐标是__(h，k)___．
知识点 1：二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象
1．(2014·兰州)抛物线 y＝(x－1)2－3 的对称轴是( C )
A．y 轴 B．直线 x＝－1
C．直线 x＝1 D．直线 x＝－3
2．抛物线 y＝(x＋2)2＋1 的顶点坐标是( A )
A．(－2，1) B．(－2，－1)
C．(2，1) D．(2，－1)
3．把抛物线 y＝－2x2 先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度后，所得函
数的表达式为( C )
A．y＝－2(x＋1)2＋2 B．y＝－2(x＋1)2－2
C．y＝－2(x－1)2＋2 D．y＝－2(x－1)2－2
4．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：
(1)y＝3(x－1)2＋2；
解：开口向上，对称轴 x＝1, 顶点(1，2)
(2)y＝－
1
3(x＋1)2－5.
解：开口向下，对称轴 x＝－1，顶点(－1，－5)
知识点 2：二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的性质
5．在函数 y＝(x＋1)2＋3 中，y 随 x 的增大而减小，则 x 的取值范围为( A )
A．x＞－1 B．x＞3
C．x＜－1 D．x＜3
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为 y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正
确的是( A )
A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0
C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜02
,第 6 题图) ,第 9 题图)
7．一小球被抛出后，距离地面的高度 h(米)和飞行时间 t(秒)满足函数关系式 h＝－5(t
－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是( C )
A．1 米 B．5 米
C．6 米 D．7 米
8．用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长 x(m)与面积 y(m2)满足函数关
系式 y＝－(x－12)2＋144(0＜x＜24)，则该矩形面积的最大值为__144_m2___．
9．如图是二次函数 y＝a(x＋1)2＋2 图象的一部分，该图象在 y 轴右侧与 x 轴交点的坐
标是__(1，0)___．
10．已知抛物线 y＝a(x－3)2＋2 经过点(1，－2)．
(1)求 a 的值；
(2)若点 A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小．
解：(1)a＝－1
(2)由题意得抛物线的对称轴为 x＝3，∵抛物线开口向下，∴当 x＜3 时，y 随 x 的增大
而增大，而 m＜n＜3，∴y1＜y2 3
11．(2014·哈尔滨)将抛物线 y＝－2x2＋1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后
所得到的抛物线为( D )
A．y＝－2(x＋1)2－1 B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋1 D．y＝－2(x－1)2＋3
12．已知二次函数 y＝3(x－2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称
轴为直线 x＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小．则
其中说法正确的有( A )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
13．二次函数 y＝a(x＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数 y＝mx＋n 的图象经过( C )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
14．设 A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y＝－(x＋1)2＋a 上三点，则 y1，y2，
y3 的大小关系为( A )
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
15．二次函数 y＝a(x＋k)2＋k，无论 k 为何实数，其图象的顶点都在( B )
A．直线 y＝x 上 B．直线 y＝－x 上
C．x 轴上 D．y 轴上
16．把二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象先向左平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，
得到二次函数 y＝
1
2(x＋1)2－1 的图象．
(1)试确定 a，h，k 的值；
(2)指出二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：(1)a＝
1
2，h＝1，k＝－5 (2)它的开口向上，对称轴为 x＝1，顶点坐标为(1，－5)
17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为 1 米的喷水管喷
出的抛物线水柱最大高度为 3 米，此时距喷水管的水平距离为
1
2米，求在如图所示的平面直
角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)4
解：∵点(
1
2，3)是抛物线的顶点，∴可设抛物线的解析式为 y＝a(x－
1
2)2＋3.∵抛物线
经过点(0，1)，∴1＝(0－
1
2)2·a＋3，解得 a＝－8，∴抛物线水柱的解析式为
y＝－8(x－
1
2)2＋3
18．已知抛物线 y＝－(x－m)2＋1 与 x 轴的交点为 A，B(B 在 A 的右边)，与 y 轴的交点
为 C.
(1)写出 m＝1 时与抛物线有关的三个正确结论；
(2)当点 B 在原点的右边，点 C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？
若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)正确的结论有：①顶点坐标为(1，1)；②图象开口向下；③图象的对称轴为 x＝
1；④函数有最大值 1；⑤当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大；⑥当 x＞1 时，y 随 x 的增大而
减小等 (2)由题意，若△BOC 为等腰三角形，则只能 OB＝OC.由－(x－m)2＋1＝0，解得 x＝
m＋1 或 x＝m－1.∵B 在 A 的右边，所以 B 点的横坐标为 x＝m＋1＞0，OB＝m＋1.又∵当 x＝
0 时，y＝1－m2＜0.由 m＋1＝m2－1，解得 m＝2 或 m＝－1(舍去)，∴存在△BOC 为等腰三角
形的情形，此时 m＝2
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