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专题训练(八) 平面图形的运动及不规则图形面积问题
一、求动态中弧长或扇形面积
1．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护
圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地
面平移 50 m，半圆的直径为 4 m，则圆心 O 所经过的路线长是__(2π＋50)m___．(结果用π
表示)
,第 1 题图) ,第 2 题图)
2．如图，在直角坐标系中放置一个边长为 1 的正方形 ABCD，将正方形 ABCD 沿 x 轴的
正方向无滑动地在 x 轴上滚动，当点 A 离开原点后第一次落在 x 轴上时，点 A 运动的路径线
与 x 轴围成图形的面积为( C )
A.
π
2 ＋
1
2 B.
π
2 ＋1
C．π＋1 D．π＋
1
2
3．如图，正六边形 ABCDEF 是边长为 2 cm 的螺母，点 P 是 FA 延长线上的点，在 A，P
之间拉一条长为 12 cm 的无伸缩性细线，一端固定在点 A，握住另一端点 P 拉直细线，把它
全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，求点 P 运动的路径长．
解 ： 点 P 运 动 的 路 径 长 为
60π × 12
180 ＋
60π × 10
180 ＋
60π × 8
180 ＋
60π × 6
180 ＋
60π × 4
180 ＋
60π × 2
180 ＝
π
3 (12＋10＋8＋6＋4＋2)＝14π(cm)
4．如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l 作无
滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，求点 A 经过的路线长．
解：如图，A″C1＝ 32＋42＝5，AA′︵
＝
90π × 3
180 ＝
3
2π，A′A″⌒＝
90π × 4
180 ＝2π，
A″A1⌒＝
90π × 5
180 ＝
5
2π，则点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，点 A 经过的路线长为AA′︵
＋
A′A″⌒＋A″A1⌒＝
3
2π＋2π＋
5
2π＝6π
5．如图，把 Rt△ABC 的斜边 AB 放在直线 l 上按顺时针方向在 l 上转动两次，使它转动
到三角形 A″B′C′的位置．若 BC＝1，AC＝ 3，当顶点 A 运动到点 A″的位置时．
(1)求点 A 所经过的路线长；
(2)求点 A 所经过的路线与 l 所围成的图形的面积．
解：点 A 所经过的路线图略．(1)在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝2，∴∠BAC＝30°，
则∠ABC＝60°，∴∠ABA′＝120°，∴AA′︵
的长为
120π × 2
180 ＝
4π
3 .又∵∠A′C′A″＝90
°，∴A′A″⌒的长为
90π × 3
180 ＝
3
2 π，∴点 A 所经过的路线长为
4
3π＋
3
2 π
(2)S 扇形 BAA′＝
1
2×
4π
3 ×2＝
4π
3 ，S扇形 C′A′A″＝
1
2×
3π
2 × 3＝
3π
4 ，S△A′BC′＝
1
2×1×2
3＝
3
2 ，∴点 A 经过的路线与 l 所围成的图形的面积是
4
3π＋
3
4π＋
3
2 ＝
25
12π＋
3
2 3
二、求不规则图形面积问题
6．(用割补法)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2DA，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆弧交 DC
于点 E，交 AD 的延长线于点 F，设 DA＝2.
(1)求线段 EC 的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)在矩形 ABCD 中，AB＝2DA，DA＝2，∴AB＝AE＝4，∴DE＝ AE2－AD2＝2 3，∴
EC＝CD－DE＝4－2 3
(2)在 Rt△DEA 中，∵
AD
AE＝
1
2，∴∠DEA＝30°，∴∠DAE＝60°，∴S 阴影＝S 扇形 EAF－S△DAE
＝
60π × 42
360 －
1
2×2×2 3＝
8
3π－2 3
7．(用旋转法)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝5cm，AC＝2cm，将△ABC 绕顶点
C 按顺时针方向旋转 45°至△A1B1C 的位置，求线段 AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积．
解：∵∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2＋AC2＝52＋22＝29.∵S 阴影＝S 扇形 CBB1＋S△A1B1C－S
△ABC－S 扇形 CAA1.又∵△ABC 旋转得到△A1B1C，∴S△ABC＝S△A1B1C，∴S 阴影＝S 扇形 CBB1－
S 扇形 CAA1＝
45 × π × 29
360 －
45 × π × 22
360 ＝
25
8 π(cm2)
8．(用平移法)如图是两个半圆，点 O 为大半圆的圆心，AB 是大半圆的弦，且与小半圆
相切，AB＝24.求图中阴影部分的面积．
解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆(如图)，连接 OB.过 O 作 OC⊥AB 于 C 点，则 AC
＝BC＝12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，∴S 阴影＝S 大半圆－S 小半
圆＝
1
2π·OB2－
1
2π·OC2＝
1
2π·AC2＝72π
9．(用等积变形法)如图，已知点 A，B，C，D 均在已知⊙O 上，AD∥BC，BD 平分∠ABC，∠
BAD＝120°，四边形 ABCD 的周长为 15.4
(1)求此圆的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)易证∠DBC＝30°，AB＝AD＝DC，BC＝2DC，∴BC＋
3
2BC＝15，∴BC＝6，∴此圆
的半径为 3 (2)连接 OA，OD，过 O 作 OE⊥AD 于点 E.可求∠AOD＝60°，∴S 扇形 AOD＝
60π × 32
360 ＝
3
2π.在 Rt△AOE 中，可求 AE＝
3
2，OE＝
3 3
2 ，∴S△AOD＝
1
2×3×
3 3
2 ＝
9 3
4 ，∴
S 阴影＝S 扇形 AOD－S△AOD＝
6π－9 3
4
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