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第 2 课时 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象和性质
1．二次函数 y＝a(x－h)2 的图象是__抛物线___，它与抛物线 y＝ax2 的__形状___相同，
只是__位置___不同；它的对称轴为直线__x＝h___，顶点坐标为__(h，0)___．
2．二次函数 y＝a(x－h)2 的图象可由抛物线 y＝ax2__平移___得到，当 h＞0 时，抛物
线 y＝ax2 向__右___平移 h 个单位得 y＝a(x－h)2; 当 h＜0 时，抛物线 y＝ax2 向__左___平
移|h|个单位得 y＝a(x－h)2.
知识点 1：二次函数 y＝a(x－h)2 的图象
1．将抛物线 y＝－x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是( A )
A．y＝－(x＋2)2 B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)2 D．y＝－x2－2
2．抛物线 y＝－3(x＋1)2 不经过的象限是( A )
A．第一、二象限 B．第二、四象限
C．第三、四象限 D．第二、三象限
3．已知二次函数 y＝a(x－h)2 的图象是由抛物线 y＝－2x2 向左平移 3 个单位长度得到
的，则 a＝__－2___，h＝__－3___.
4．在同一平面直角坐标系中，画出函数 y＝x2，y＝(x＋2)2，y＝(x－2)2 的图象，并写
出对称轴及顶点坐标．
解：图象略，抛物线 y＝x2 的对称轴是直线 x＝0，顶点坐标为(0，0)；抛物线 y＝(x＋
2)2 的对称轴是直线 x＝－2，顶点坐标为(－2，0)；抛物线 y＝(x－2)2 的对称轴是直线 x＝
2，顶点坐标为(2，0)
知识点 2：二次函数 y＝a(x－h)2 的性质
5．二次函数 y＝15(x－1)2 的最小值是( C )
A．－1 B．1
C．0 D．没有最小值
6．如果二次函数 y＝a(x＋3)2 有最大值，那么 a__＜___0，当 x＝__－3___时，函数的
最大值是__0___．
7．对于抛物线 y＝－
1
3(x－5)2，开口方向__向下___，顶点坐标为__(5，0)___，对称
轴为__x＝5___．
8．二次函数 y＝－5(x＋m)2 中，当 x＜－5 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞－5 时，y
随 x 的增大而减小，则 m＝__5___，此时，二次函数的图象的顶点坐标为__(－5，0)___，
当 x＝__－5___时，y 取最__大___值，为__0___．
9．已知 A(－4，y1)，B(－3，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数 y＝－2(x＋2)2 的图象上，
则 y1，y2，y3 的大小关系为__y3＜y1＜y2___．
10．已知抛物线 y＝a(x－h)2，当 x＝2 时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛
物线的解析式，并指出当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小．
解：当 x＝2 时，有最大值，∴h＝2.又∵此抛物线过(1，－3)，∴－3＝a(1－2)2，解
得 a＝－3，∴此抛物线的解析式为 y＝－3(x－2)2.当 x＞2 时，y 随 x 的增大而减小
2
11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数 y＝
1
2x2 的图象相同的抛物线的解析式是
( D )
A．y＝
1
2(x－6)2 B．y＝
1
2(x＋6)2
C．y＝－
1
2(x－6)2 D．y＝－
1
2(x＋6)2
12．平行于 x 轴的直线与抛物线 y＝a(x－2)2 的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交
点坐标为( C )
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(5，2) D．(－1，4)
13．在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 和二次函数 y＝a(x＋c)2 的图象大致为
( B )
14．已知二次函数 y＝3(x－a)2 的图象上，当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，则 a 的取
值范围是__a≤2___．
15．已知一条抛物线与抛物线 y＝－
1
2x2＋3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－
5，0)，则该抛物线的解析式是__y＝
1
2(x＋5)2___．
16．已知抛物线 y＝a(x－h)2 的对称轴为 x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)从图象上观察，当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？当 x 取何值时，函数有最大
值(或最小值)?
解：(1)y＝－
1
3(x＋2)2 (2)图象略 (3)x＜－2 时，y 随 x 的增大而增大；x＝－2 时，
函数有最大值
17．已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线 y＝－8x2 都相同，并且它的顶点
在抛物线 y＝2(x＋
3
2)2 的顶点上．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求将(1)中的抛物线向左平移 5 个单位后得到的抛物线的解析式；
(3)将(2)中所求抛物线关于 x 轴对称，求所得抛物线的解析式．3
解：(1)y＝－8(x＋
3
2)2 (2)y＝－8(x＋
13
2 )2 (3)y＝8(x＋
13
2 )2
18．如图，在 Rt△OAB 中，∠OAB＝90°，O 为坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OA＝AB＝1
个单位长度，把 Rt△OAB 沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度后得△AA1B1.
(1)求以 A 为顶点，且经过点 B1 的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与 OB 交于点 C，与 y 轴交于点 D，求点 D，C 的坐标．
解：(1)由题意得 A(1，0)，A1(2，0)，B1(2，1)．设抛物线的解析式为 y＝a(x－1)2，∵
抛物线经过点 B1(2，1)，∴1＝a(2－1)2，解得 a＝1，∴抛物线解析式为 y＝(x－1)2
(2)令 x＝0，y＝(0－1)2＝1，∴D 点坐标为(0，1)．∵直线 OB 在第一、三象限的角平
分线上，∴直线 OB 的解析式为 y＝x，根据题意联立方程组，得 {y＝x，
y＝（x－1）2，解得
{x1＝
3＋ 5
2 ，
y1＝
3＋ 5
2 ，{x2＝
3－ 5
2 ，
y2＝
3－ 5
2 .
∵x1＝
3＋ 5
2 ＞1(舍去)，∴点 C 的坐标为(
3－ 5
2 ，
3－ 5
2 )
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