1
21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．若一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根分别为 x1，x2，则 x1＋x2＝__－p___，x1x2＝
__q___．
2．若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为 x 1，x2，则 x1＋x2＝__－
b
a
___，x1x2＝__
c
a___．
3．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根与系数的关系应用条件：(1)一般形式，即__ax2＋
bx＋c＝0___；(2)二次方程，即__a≠0___；(3)有根，即__b2－4ac≥0___．
知识点 1：利用根与系数的关系求两根之间关系的代数式的值
1．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的两根，则 x1＋x2 的值是( C )
A．0 B．2 C．－2 D．4
2．(2014·昆明)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两个实数根，则 x1x2 等于
( C )
A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．已知方程 x2－6x＋2＝0 的两个解分别为 x1，x2，则 x1＋x2－x1x2 的值为( D )
A．－8 B．－4 C．8 D．4
4．已知 x1，x2 是方程 x2－3x－4＝0 的两个实数根，则(x1－2)(x2－2)＝__－6___．
5．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
(1)x2＋3x＋1＝0；
解：x1＋x2＝－3，x1x2＝1
(2)2x2－4x－1＝0；
解：x1＋x2＝2，x1x2＝－
1
2
(3)2x2＋3＝5x2＋x.
解：x1＋x2＝－
1
3，x1x2＝－1
6．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－3x－1＝0 的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)x12＋x22； (2)
1
x1＋
1
x2.
解：(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝11
(2)
1
x1＋
1
x2＝
x1＋x2
x1x2 ＝－3
知识点 2：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值
7．已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根互为相反数，则( B )
A．b＞0 B．b＝0 C．b＜0 D．c＝0
8．已知一元二次方程 x2－6x＋c＝0 有一个根为 2，则另一根和 c 分别为( C )
A．1，2 B．2，4 C．4，8 D．8，16
9．若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx＋c＝0 的两个实数根分别为 x1＝－2，x2＝4，则 b＋
c 的值是( A )
A．－10 B．10 C．－6 D．－1
10．(2014·烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是( D )
A．－1 或 5 B．1 C．5 D．－12
11．若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两个实数根为 x 1，x2，且满足 x1＝
3x2，试求出方程的两个实数根及 k 的值．
解：由根与系数的关系得{x1＋x2＝4①，
x1x2＝k－3②，又∵x1＝3x2③，联立①③，解方程组得
{x1＝3，
x2＝1，∴k＝x1x2＋3＝3×1＋3＝6
12．已知一元二次方程 x2－2x＋2＝0，则下列说法正确的是( D )
A．两根之和为 2 B．两根之积为 2
C．两根的平方和为 0 D．没有实数根
13．已知 α，β满足 α＋β＝6，且 αβ＝8，则以 α，β为两根的一元二次方程是
( B )
A．x2＋6x＋8＝0 B．x2－6x＋8＝0
C．x2－6x－8＝0 D．x2＋6x－8＝0
14．设 x1，x2 是方程 x2＋3x－3＝0 的两个实数根，则
x2
x1＋
x1
x2的值为( B )
A．5 B．－5 C．1 D．－1
15．方程 x2－(m＋6)x＋m2＝0 有两个相等的实数根，且满足 x1＋x2＝x1x2，则 m 的值是
( C )
A．－2 或 3 B．3
C．－2 D．－3 或 2
16．(2014·呼和浩特)已知 m，n 是方程 x2＋2x－5＝0 的两个实数根，则 m2－mn＋3m＋
n＝__8___．
17．在解某个方程时，甲看错了一次项的系数，得出的两个根为－8，－1；乙看错了常
数项，得出的两个根为 8，1，则这个方程为__x2－9x＋8＝0___．
18．已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－4x＋1＝0 的两个实数根，求(x1＋x2)2÷(
1
x1＋
1
x2)
的值．
解：由根与系数的关系得 x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴(x1＋x2)2÷(
1
x1＋
1
x2)＝x1x2(x1＋x2)＝
4
19．已知关于 x 的一元二次方程 x2－2kx＋k2＋2＝2(1－x)有两个实数根 x1，x2.
(1)求实数 k 的取值范围；
(2)若方程的两实数根 x1，x2 满足|x1＋x2|＝x1x2－1，求 k 的值．
解：(1)方程整理为 x2－2(k－1)x＋k2＝0，由题意得Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴k≤
1
2 (2)
由题意得 x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∵|x1＋x2|＝x1x2－1，∴|2(k－1)|＝k2－1，∵k≤
1
2，∴－2(k－1)＝k2－1，整理得 k2＋2k－3＝0，解得 k1＝－3，k2＝1(舍去)，∴k＝－3 3
20．设 x1，x2 是方程 x2－x－2015＝0 的两个实数根，求 x13＋2016x2－2015 的值．
解：x2－x－2015＝0，∴x2＝x＋2015，x＝x2－2015.又∵x1，x2 是方程 x2－x－2015＝0
的两个实数根，∴x1＋x2＝1，∴x13＋2016x2－2015＝x1·x12＋2016x2－2015＝x1·(x1＋2015)
＋2016x2－2015＝x12＋2015x1＋2016x2－2015＝x1＋2015＋2015x1＋2016x2－2015＝2016(x1
＋x2)＋2015－2015＝2016
微信/支付宝扫码支付