1
专题训练(四) 实际问题与二次函数
——以利润、隧道、球类运动为背景
一、以利润为背景
1．某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，试销时发现：销售单价 x(元/件)与每
天销售量 y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价
定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)y＝－x＋180
(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)，即 W＝－(x－140)2＋1600，当 x＝140 时，W
最大＝1600，∴售价定为 140 元/件时，每天最大利润 W 为 1600 元
2．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计
划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润 y1 与投资量 x 成正比例关
系，如图①所示；种植花卉的利润 y2 与投资量 x 成二次函数关系，如图②所示．(注：利润
与投资量的单位：万元)
(1)分别求出利润 y1 与 y2 关于投资量 x 的函数关系式；
(2)如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获
得的最大利润是多少？
解：(1)y1＝2x，y2＝
1
2x2 (2)设种植花卉的资金投入为 x 万元，那么种植树木的资金投2
入为(8－x)万元，两项投入所获得的总利润为 y 万元，则 y＝y1＋y2＝2(8－x)＋
1
2x2＝
1
2(x－
2)2＋14，∴当 x＝2 时，y 最小＝14，这位专业户至少获利 14 万元，又∵0≤x≤8，抛物线的
对称轴为 x＝2，①当 0≤x≤2 时，y 值随 x 的增大而减小，∴当 x＝0 时，y 最大＝16；②当
2＜x≤8 时，y 值随 x 的增大而增大，∴x＝8 时，y最大＝32，综合①②可知，最大利润是 32
万元
二、以桥梁、隧道为背景
3．如图，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一
条抛物线可以用 y＝0.0225x2＋0.9x＋10 表示，而且左右两条抛物线关于 y 轴对称．
(1)钢缆最低点到桥面的距离是多少？
(2)两条钢缆的最低点之间的距离是多少？
(3)写出右边钢缆抛物线的解析式．
解：y＝0.0225x2＋0.9x＋10＝0.0225(x＋20)2＋1，(1)钢缆最低点到桥面的距离是 1 m
(2)两钢缆的最低点之间的距离是 40 m (3)∵右边钢缆的抛物线与左边的关于 y 轴对
称，∴此抛物线的顶点为(20，1)，∴y＝0.0225(x－20)2＋1，即 y＝0.0255x2－0.9x＋10 3
4.如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米．现以
O 点为原点，OM 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使 C，D 点在抛物线上，A，B 点在地面 OM
上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
解：(1)M(12，0)，P(6，6)
(2)设抛物线的解析式为 y＝a(x－6)2＋6.∵抛物线 y＝a(x－6)2＋6 经过点(0，0)，∴a
＝－
1
6，∴抛物线的解析式为 y＝－
1
6(x－6)2＋6，即 y＝－
1
6x2＋2x (3)设 A(m，0)，则 B(12
－m，0)，C(12－m，－
1
6m2＋2m)，D(m，－
1
6m2＋2m)，∴“支撑架”总长 AD＋DC＋CB＝(－
1
6m2
＋2m)＋(12－2m)＋(－
1
6m2＋2m)＝－
1
3m2＋2m＋12＝－
1
3(m－3)2＋15.∵此二次函数的图象开
口向下，∴当 m＝3 时，AD＋DC＋CB 有最大值，最大值为 15 米
三、以球类运动为背景
5．如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去，球
的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度 12 米时，球移动的水
平距离为 9 米．已知山坡 OA 与水平方向 OC 的夹角为 30°，O，A 两点相距 8 3米．
(1)求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点．
解：(1)在 Rt△AOC 中，∵∠AOC＝30°，OA＝8 3，∴AC＝8 3×
1
2＝4 3，由勾股定
理可求 OC＝12，∴点 A 的坐标为(12，4 3)，从而可求 OA 的解析式为 y＝
3
3 x (2)∵顶点
B 的坐标是(9，12)，点 O 的坐标是(0，0)，∴设抛物线的解析式为 y＝a(x－9)2＋12，把点
O 的坐标代入得 0＝a(0－9)2＋12，解得 a＝－
4
27，∴抛物线的解析式为 y＝－
4
27(x－9)2＋
12(或 y＝－
4
27x2＋
8
3x)
(3)∵当 x＝12 时，y＝－
4
27×(12－9)2＋12＝
32
3 ≠4 3，∴小明这一杆不能把高尔夫球4
从 O 点直接打入球洞 A 点
6．如图，在水平地面点 A 处有一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条
抛物线，在地面上落点为 B.有人在直线 AB 上点 C(靠点 B 一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形
桶，试图让网球落入桶内．已知 AB＝4 米，AC＝3 米，网球飞行的最大高度 OM＝5 米，圆柱
形桶的直径为 0.5 米，高为 0.3 米．(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计)
(1)如果竖直摆放 5 个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？
(2)当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
解：(1)以点 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 M(0，5)，B(2，0)，
C(1，0)，D(
3
2，0)，设抛物线的解析式为 y＝ax2＋k，抛物线过点 M 和点 B，可求 k＝5，a＝－
5
4，即抛物线解析式为 y＝－
5
4x2＋5.当 x＝1 时，y＝
15
4 ；当 x＝
3
2时，y＝
35
16，即(1，
15
4 )，
(
3
2，
35
16)在抛物线上．当竖直摆放 5 个圆柱形桶时，桶高＝
3
10×5＝
3
2.∵
3
2＜
15
4 ，且
3
2＜
35
16，∴
网球不能落入桶中 (2)设竖直摆放圆柱形桶 m 个时网球可以落入桶内，由题意，得
35
16≤
3
10
m≤
15
4 ，解得 7
7
24≤m≤12
1
2.∵m 为整数，∴m 的值为 8，9，10，11，12，∴当竖直摆放圆柱
形桶 8，9，10，11 或 12 个时，网球可以落入桶内
5
专题训练(五) 二次函数与一次函数、几何类问题
一、二次函数与三角形
1．如图，在直角坐标系 xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，A(1，0)，
B(0，2)，抛物线 y＝
1
2x2＋bx－2 的图象过 C 点．求抛物线的解析式．
解：过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∠OAB
＋∠CAD＝90°，∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD.又∵AB＝AC，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD
＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴OD＝OA＋AD＝3，∴C(3，1)．∵点 C(3，1)在抛物线 y＝
1
2x2＋bx－
2 上，∴1＝
1
2×9＋3b－2，解得 b＝－
1
2，∴抛物线的解析式为 y＝
1
2x2－
1
2x－2
2．如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A 的坐标为(2，0)，点 C
的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线 x＝－
1
2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)M 是线段 AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标．
解：(1)y＝－
1
2(x＋
1
2)2＋
25
8 ，即 y＝－
1
2x2－
1
2x＋3
(2)由 y＝0 得，－
1
2(x＋
1
2)2＋
25
8 ＝0，解得 x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．①CM＝BM 时，∵
BO＝CO＝3，即△BOC 是等腰直角三角形，∴当 M 点在原点 O 时，△MBC 是等腰三角形，∴M
点坐标(0，0)；②BC＝BM 时，在 Rt△BOC 中，BO＝CO＝3，由勾股定理得 BC＝3 2，∴BM＝
3 2，∴M 点坐标(3 2－3，0)；③当 MC＝BC 时，易知 M 不在线段 AB 上．综上可知，符合
条件的 M 点坐标为(0，0)或(3 2－3，0)
二、二次函数与四边形
3．如图，抛物线经过点 A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－
5
2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使 A，C，M，N 四点构成的四边
形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．6
解：(1)y＝
1
2x2－2x－
5
2 (2)存在．如图，①当点 N 在 x 轴的下方，∵四边形 ACNM 是平
行四边形，∴CN⊥对称轴，∴点 C 与点 N 关于对称轴 x＝2 对称，∵C 点的坐标为(0，－
5
2)，∴
点 N 的坐标为(4，－
5
2)；②当点N′在 x 轴上方时，作N′H⊥x 轴于点 H，∵四边形ACM′N′
是平行四边形，∴AC＝M′N′，∠N′M′H＝∠CAO，∴Rt△CAO≌Rt△N′M′H，∴N′H＝
OC，∵点 C 的坐标为(0，－
5
2)，∴N′H＝
5
2，即 N 点的纵坐标为
5
2，∴
1
2x2－2x－
5
2＝
5
2，解得 x1
＝2＋ 14，x2＝2－ 14，∴点 N′的坐标为(2－ 14，
5
2)和(2＋ 14，
5
2)．综上所述，满
足条件的点 N 共有三个，分别为(4，－
5
2)，(2－ 14，
5
2)和(2＋ 14，
5
2)
4．(2014·兰州)如图，抛物线 y＝－
1
2x2＋mx＋n 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点
C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 D，已知 A(－1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形？如果存在，
直接写出 P 点坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运
动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标．
解：(1)y＝－
1
2x2＋
3
2x＋2
(2)在抛物线的对称轴上存在点 P，使得△PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形，如图 1，
P1(
3
2，4)，P2(
3
2，
5
2)，P3(
3
2，－
5
2) (3)当 y＝0 时，－
1
2x2＋
3
2x＋2＝0，解得 x1＝－1，x2＝7
4，∴B(4，0)，可求直线 BC 的表达式是 y＝－
1
2x＋2.如图 2，过点 C 作 CM⊥EF 于点 M，设
E(a，－
1
2a＋2)，则 F(a，－
1
2a2 ＋
3
2a＋2)，∴EF＝－
1
2a2 ＋
3
2a＋2－(－
1
2a＋2)＝－
1
2a2 ＋
2a(0≤a≤4)，∴S 四边形 CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝
1
2×
5
2×2＋
1
2(－
1
2a2＋2a)[a＋(4－a)]＝
－a2＋4a＋
5
2＝－(a－2) 2＋
13
2 (0≤a≤4)，∴当 a＝2 时，S 四边形 CDBF 的最大值为
13
2 ，此时
E(2，1)
三、二次函数与一次函数
5．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，且 A 点坐标为(－3，
0)，抛物线顶点 P 的纵坐标为－4，经过 B 点的一次函数 y＝x－1 的图象交抛物线于点 D.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求当二次函数值小于一次函数值时，x 的取值范围；
(3)求△BPD 的面积．
解：(1)∵一次函数 y＝x－1 的图象经过 B 点，∴B 点坐标为(1，0)．∵A 点坐标为(－
3，0)，抛物线顶点 P 的纵坐标为－4，∴抛物线顶点 P 的坐标为(－1，－4)，∴
{a＋b＋c＝0，
9a－3b＋c＝0，
a－b＋c＝－4.
解方程组得{a＝1，
b＝2，
c＝－3，
故抛物线的解析式为 y＝x2＋2x－3 (2)联立一次
函数 y＝x－1 和抛物线的解析式可得{y＝x2＋2x－3，
y＝x－1， 解得{x1＝－2，
y1＝－3，{x2＝1，
y2＝0，则 D 点坐标
为(－2，－3)，由图象可得当二次函数值小于一次函数值时，x 的取值范围为－2＜x＜1
(3)过点 P 作 PM∥y 轴交 BD 于点 M，则当 x＝－1 时，y＝x－1＝－2，∴M(－1，－2)，
则 PM＝2，则 S△BPD＝S△BPM＋S△MPD＝
1
2×2×[1－(－1)]＋
1
2×2×[(－1)－(－2)]＝3
6．如图，一元二次方程 x2＋2x－3＝0 的两根 x1，x2(x1＜x2)是抛物线 y＝ax2＋bx＋c
与 x 轴的两个交点 C，B 的横坐标，且此抛物线过点 A(3，6)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)设此抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 AC 相交于点 G，求 P 点和 G 点坐标；
(3)在 x 轴上有一动点 M，当 MG＋MA 取得最小值时，求点 M 的坐标．8
解：(1)解方程 x2＋2x－3＝0，得 x1＝－3，x2＝1，∴抛物线与 x 轴的两个交点坐标为
C(－3，0)，B(1，0)，设抛物线的解析式为 y＝a(x＋3)(x－1)．∵A(3，6)在抛物线上，∴
6＝a(3＋3)·(3－1)，∴a＝
1
2，∴抛物线的解析式为 y＝
1
2x2＋x－
3
2
(2)由 y＝
1
2x2＋x－
3
2＝
1
2(x＋1)2－2，∴抛物线顶点 P 的坐标为(－1，－2)，对称轴为 x
＝－1.可求直线 AC 的解析式为 y＝x＋3，将 x＝－1 代入得 y＝2，∴G 点坐标为(－1，2) (3)
作 A 关于 x 轴的对称点 A′(3，－6)，连接 A′G，A′G 与 x 轴交于点 M 即为所求的点．可
求直线 A′G 的解析式为 y＝－2x，令 x＝0，则 y＝0，∴M 点坐标为(0，0)
7．(2014·武汉)如图，已知直线 AB：y＝kx＋2k＋4 与抛物线 y＝
1
2x2 交于 A，B 两
点．
(1)直线 AB 总经过一个定点 C，请直接写出点 C 的坐标；
(2)当 k＝－
1
2时，在直线 AB 下方的抛物线上求点 P，使△ABP 的面积等于 5.
解：(1)直线过定点(－2，4) (2)如图，直线 y＝－
1
2x＋3 与 y 轴交于点 N(0，3)．联
立得{y＝－
1
2x＋3，
y＝
1
2x2，
∴
1
2x2＋
1
2x－3＝0，解得 x1＝－3，x2＝2.在 y 轴上 N 点下方取点 Q，使 S
△ABQ＝5，则
1
2×(3－yQ)×[2－(－3)]＝5，∴yQ＝1，∴Q(0，1)．过点 Q 作 PQ∥AB 交抛物线
于点 P，则 PQ 的解析式为 y＝－
1
2x＋1.由{y＝－
1
2x＋1，
y＝
1
2x2，
解得{x1＝－2，
y1＝2， {x2＝1，
y2＝
1
2，∴P 点的坐
标是 P1(－2，2)，P2(1，
1
2)9
微信/支付宝扫码支付