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第四章 图形的相似
一、目标与要求
1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似．
2．能根据相似比进行计算．
3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义, 领会特殊与一般的关系．
4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力．
5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力．
6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系．
二、知识框架
三、重点、难点
1．理解并相似三角形的判定与性质
2．位似图形的有关概念、性质与作图．
3．利用位似将一个图形放大或缩小．
4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
四、知识点、概念总结
1. 相似：
每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。
相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。2
我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相
似三角形
相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。
成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的
长度的比相等，即 （或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
黄金分割：用一点 P 将一条线段 AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，
则可得出这一比值等于 0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，较长线
段叫做较短线段与全线段的比例中项。
3.相似三角形的判定方法:
根据相似图形的特征来判断。（对应边成比例，对应角相等）
○1 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；
○2 如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；
○3.如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
补充：A. 一定相似的三角形
（1）两个全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为 1）
（2）两个等腰直角三角形一定相似（两个等腰三角形，如果其中的任意一个顶角或底角相等，那
么这两个等腰三角形相似。）
（3）两个等边三角形一定相似。
B. 三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两
个三角形相似。
4. 相似的性质
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例。
d
c
b
a =3
（2）相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）
的比等于相似比。
（3）相似三角形周长的比等于相似比。
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
（5）相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似
比的平方
（6）若 a:c =c:b，即 c 2=ab,则 c 叫做 a,b 的比例中项
（7）c/d=a/b 等同于 ad=bc.
5.相似的应用：位似
（1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做
位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是
一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②
两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一
侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它
又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意:①首先确定位似中心，
位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定
位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作
的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。4B D C
课堂练习
1、已知正数 a、b、c，且 ，则下列四个点中在正比例函数 y=kx 图象上的点
的坐标是（ ）
A. (1， ) B. (1，2) C. (1，- ) D.(1，-1)
2、① 在比例尺是 1：38000 的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约 7cm，则它的实际长度约为______Km。
② 若 = 则 =__________
③ 若 = 则 a：b=__________
④ 已知: = = 且 3a+2b-c=14 ,则 a+b+c 的值为_____
3、已知 则 =_________， =___________。
4、已知 x：y：z=3：4：5，则 =________。
5、在△ABC 中，若∠A＝∠C＝ ∠B，则∠A＝ ，∠B＝ ，这个三角形是 .
6、已知三角形的三边长分别为 3、8、x，若 x 的值为偶数，则 x 的值有（ ）
A. 6 个 B. 5 个 C. 4 个 D. 3 个
7、已知一个三角形三个内角度数的比是 1:5:6，则其最大内角度数为（ ）
A.60° B.75° C.90° D.120°
8、如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
9、如右图所示，D 是△ABC 的边 AC 上的点，过 D 作直线 DE，与 AB 交于点 E，若△ADE与
△ABC 相似，则这样的直线 DE 最多可作_______条．
10、小明家的园子里有一三角形的花圃，将它的大小按 1：100 画在纸上，如图 18-4。现量得所画图
形中 BC 边长为 3.5cm，高 AD 为 2cm，求花圃的面积。
kba
c
ac
b
cb
a =+=+=+
2
1
2
1
b
a
3
2
b
ba +
ba
ba
−
+
2
2
5
9
2
a
3
b
5
c
7
5===
f
e
d
c
b
a
fdb
eca
72
72
+−
+−
db
ca
−
−
2
2
zyx
zyx
−+
++
1
35
F
E
D
C
BA
11、如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D、E、F 分别在 AB、BC、AC 边上，DE=DF，∠EDF=∠A．
（1）求证： ．(2)证明： 与 相似。
12、如图，已知△ABC 中 CE⊥AB 于 E,BF⊥AC 于 F,求证：△AFE∽△ABC
13、已知，如图， 是 斜边上的中线， 交 于 ，交 的延长线于 ，
说明：⑴ ∽ ； ⑵ ．
课后作业
1、如果
2、已知 4x－5y=0，则(x+y)∶(x－y)的值为（ ）
A、1∶9 B、－9 C、9 D、－1∶9
3、已知 那么下列各式中一定成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、P 为正△ABC 的边 CB 延长线上一点，Q 是 BC 延长线上的点，∠PAQ=1200，求证：BC2=PB·CQ
BC
AB
EF
DE = BDE∆ EFC∆
CD Rt ABC∆ DE AB⊥ BC F AC E
ADE∆ FDB∆ DFDECD •=2
=−+=++== zyxzyxzyx 那么且 ,5,432
d
c
b
a =
b
d
c
a =
bd
ac
b
c =
d
dc
b
ba 22 +=+
d
c
b
a 11 +=+
A
D
B E C
F
A
C
땆
၅
ł6
5、已知：平行四边形 ABCD，E 是 BA 延长线上一点，CE 与 AD、BD 交于 G、F，求证： 。
6、如图ΔABC 中,∠C=90°, BC = 8cm, AC = 6cm,点 P 从 B 出发,沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动,点 Q 从
C 出发,沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动.若 P、Q 分别同时从 B、C 出发,经过多少时间ΔCPQ 与ΔCBA 相似?
7、如图，△ABC 中 D 为 AC 上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E 为垂足，连结 AE.求
证：(1) ED=DA；(2)∠EBA＝∠EAB；(3) BE2=AD·AC
EFGFCF ⋅=2
A
B C
D
F
G
E
A
B CP Q
E
DC
B
A
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