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第一章 特殊平行四边形
【学习目标】
1、掌握并能区分矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点）
2、矩形、菱形、正方形的性质与判定综合运用.（难点）
【学习方案】
正方形、平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：
平行四边形 矩形 菱形 正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
（凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写)
矩形的判定方法．
矩形判定方法 1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法 2：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定方法 3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
矩形判定方法 4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
1、已知：如图 ，矩形 ABCD，AB 长 8 cm ，对角线比 AD 边长 4 cm．求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE
的长．
2、如图，已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，F 是 AB 上的一点，EF⊥EC，且 EF=EC，DE=4cm，矩
形 ABCD 的周长为 32cm，求 AE 的长．2
3、如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F．
(1)求证：AB=CF；(2)当 BC 与 AF 满足什么数量关系时，四边形 ABFC 是矩形，并说明理由．
※4、如图，在□ABCD 中，DE⊥AB 于 E，BM＝MC＝DC，求证：∠EMC=3∠BEM.
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形
1、 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD=∠CBE．
2、已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F．求证：四边形 AFCE 是
菱形．
F
E
D
C
B
A
M
E AB
DC3
3、如图，在菱形 ABCD 中，∠A=60°, =4,O 为对角线 BD 的中点，过 O 点作 OE⊥AB，垂足为 E．求
线段 的长．
4、如图，四边形 ABCD 是菱形，DE⊥AB 交 BA 的延长线于 E，DF⊥BC，交 BC 的延长线于 F。请你猜想 DE
与 DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想
正方形
正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
正方形的性质总结如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是 45°；
正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．
正方形的判定方法：
• (1)有一个角是直角的菱形是正方形；
• (2)有一组邻边相等的矩形是正方形．
要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
1、已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1∥l2，作 BM⊥l1 于 M，DN⊥l1 于 N，
直线 MB、DN 分别交 l2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
AB
BE D
A B
C
O
E
604
P
G
F
E
D
C
BA
2、（2008 海南）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC
上，且 PE=PB.
（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
① 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
② 当 x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.
综合练习作业
1、下面有四个命题：
（1）一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；
（2）一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
（3）一组对角相等且这一组对角的顶点连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
（4）一组对角相等且这组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
其中，正确的命题个数是（ ）。
（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个
2、如图，以△ABC 的三边为边在 BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF。请回答
下列问题（不要求证明）：
（1）四边形 ADEF 是什么四边形？
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形？
（3）当△ABC 满足什么条件时，以 A、D、E、F 为顶点的四边形不存在？
3、一个含 45°的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EF⊥AE 交∠DCE 的角
平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由。
4、如图，分别以△ABC 的边 AC 和 BC 的一边，在△ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG ，点 P
A
B C
P
D
E5
是 EF 的中点，求证：点 P 到边 AB 的距离是 AB 的一半.
5、在 中， 分别是 ， 的平分线， 和
交于 ，试说明四边形 的形状．
5，将平行四边形纸片 按如图方式折叠，使点 与 重合，点 落到 处，折痕为 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，判断四边形 是什么特殊四边形？证明你的结论．
ABC△ 90BAC AD BC BE AF∠ = ， ⊥ ， 、 ABC∠ DAC∠ BE AD
G AGFE
ABCD C A D D′ EF
ABE AD F′△ ≌△
CF AECF
A F D
CEB
D′
G
E
FD
A
CB
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