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第二章 一元二次方程
【知识梳理】
1、一元二次方程有关概念
⑴定义：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是_____的_____方程叫做一元二次方程．
⑵一元二次方程的一般形式是 _（a____0），其中 ax2 叫做_______项，a 是_______，bx 叫做
_______，b 是_______，c 叫做_______项．
（3）一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边的值相等的 的值叫一元二次方程的解，也叫
做 。
2、解一元二次方程的方法有：
① ；② ；③ ；④ ；
◆ 一元二次方程 的求根公式为 x= （ ）。
3、一元二次方程 的根的判别式△＝___ _____．
(1)当△>0 时，方程有两个_______的实数根．](2)当△＝0 时，方程有两个_______的实数根．
(3)当△1 且 a≠5 C、a≥1 且 a≠5 D、a≠5
变式：将“有两个实数根”改为“有实数根”，结果是否改变？
例9、(1)已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么： ；x1·x2= ； ；
；
(2) 以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 。
(3)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为x＝2，求这个方程的另一个根及m值
例 10、已知关于 x 的方程
⑴求证:方程有两个不相等的实数根.
0152 2 =−+ xx ( ) ( )2 3 3 3x x x− = − 2 2 3 0x x+ − =
( )2 22 3 6 9x x x+ = − + 2 3 18 0x x− − = ( )2 5 4 10x x x− = −
2 2 1 0x x− − =
( ) 2a-5 4 1 0x x− − =
1 2x x+ =
21
11
xx
+
2 2
1 2x x+ =
012)2(2 =−+++ mxmx3
⑵当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解
（四） 思想方法的考查
1、换元法
(1)用换元法解分式方程 时，如果设 ，并将原方程化为关于 的整式方
程，那么这个整式方程是 ．
(2) ,则 _________。
2、整体法：
(1)已知ｍ是方程 的一个根，则代数式 的值等于 （ ）
A、１ B、－１ C、0 D、2
(2)先化简，再求值： ，其中 a 是方程 的根。
3、分类讨论
关于 x 的方程 有实数根，求 k 的取值范围。
4、配方法的应用
(1) 运用配方法解一元二次方程
（2）运用配方法判别二次三项式的取值范围或符号
试证明：不论 取何值，试说明：代数式 2x2－x＋3 的值不小于
巩固 对于二次二项式 小聪同学作出如下结论：无论 x 取什么实数，它的值都不可
能等于 11.你是否同意他的说法？说明你的理由．
2 1 22 1
x x
x x
− − =−
2 1x yx
− = y
( ) ( ) 0103 22222 =−+−+ yxyx =+ 22 yx
2 1 0x x− − = 2m m−
2
2 2
4 1 2
24 4 2
a
aa a a a
− − ÷ −− + −
2 3 1 0x x+ + =
2( 2) 2( 1) 1 0k x k x k− − − + + =
x 23
8
2x 10x 36− +4
拓展延伸：当 取何值时，代数式 有最大值，最大值是多少？
（六）应用题考查
例 1、有 n 支球队参加排球联赛，每对与其余各队比赛 2 场。如果联赛的总场次是 132，问共有多少支球
队参加联赛？
类似问题小结：（1）三（6）班共有 n 名学生，共握手____________次；
（2）三（6）班共有 n 名学生，互赠贺卡，共有____________张贺卡。
例 2、（2012．汕头）据媒体报道，我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次，2011 年公民出境旅
游总人数约 7 200 万人次，若 2010 年、2011 年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下面的问题：
(1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；
(2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约多少万人
次
例 3、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，
后来经过市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 千克，若该专卖店销售这种核
桃想要平均每天获利 2240 元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
例 4、如图 ，在 Rt△ ABC 中 ，∠ B=90° ，AC=60cm，∠ A=60° ，点 D 从 点 C 出 发 沿 CA 方 向 以 4cm/
秒 的 速 度 向 点 A 匀 速 运 动 ，同 时 点 E 从 点 A 出 发 沿 AB 方 向 以 2cm/秒 的 速 度 向 点 B 匀 速 运 动 ，
当 其 中 一 个 点 到 达 终 点 时 ，另 一 个 点 也 随 之 停 止 运 动 ．设 点 D、E 运 动 的 时 间 是 t 秒（ 0＜ t≤
15）．过 点 D 作 DF⊥ BC 于 点 F， 连 接 DE， EF．
（ 1） 求 证 ： AE=DF；
（ 2） 四 边 形 AEFD 能 够 成 为 菱 形 吗 ？ 如 果 能 ， 求 出 相 应 的 t 值 ， 如 果 不 能 ， 说 明 理 由 ；
（ 3） 当 t 为 何 值 时 ， △ DEF 为 直 角 三 角 形 ？ 请 说 明 理 由 ．
,x y 2 22 2 8 5x y x y− − − + −5
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