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4.5 相似三角形判定定理的证明
学习目标 了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力。
学习重点 相似三角形判定定理的证明过程
学习难点 相似三角形判定定理的证明过程
教 学 内 容 及 过 程
一．旧知回顾
1.相似三角形的定义、性质、相似比。
2.平行线分线段成比例定理及推论：
3.相似三角形的判定定理。
二．探究新知
（一）自主学习
定理 1 两角分别相等的两个三角形相似。
温馨提示：证明文字命题的步骤，引导学生进行画图，写出已知，求证，并写出证明过程
第一步：学生根据文字命题画图，
第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC 和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们
可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，
从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。根据平行线分线段成比例
的推论，我们可以在△ABC 内部或外部构造平行线，从而构造出与△A′B′C′全等的三角形。）2
证明：在△ABC 的边 AB（或延长线）上截取 AD=A′B′,过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E,则
∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F,则
__________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
∴____________
∵DE∥BC，DF∥AC
∴四边形 DFCE 是平行四边形。
∴DE=CF
∴____________
∴____________
而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,
∴____________
∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’,
∴△____≌△____
∴△ABC∽△A’B’C’.
现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法，用这两种判定三角形相似的方法可以证明其
他判定定理。
下面我们可以类比前面的证明方法，来继续证明定理 2 和 3。
（二）小组合作交流完成定理 2 的证明
定理 2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（三）独立完成定理 3 的证明
定理 3 三边成比例的两个三角形相似
小结：相似三角形的判定定理的选择：1.已知有一角相等，可选判定定理 1 和 2；2.已知有两
边对应成比例，可选判定定理 2 和 3。
三．学以致用
1.已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求 AB. 3
2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，
求 AD 的长.
3.已知直角三角形 ABC，CD⊥AB。
问：1．图中有几个 Rt△?
2．有几对△相似？
3 求证：CD2 = AD×BD
AC2 =AD×AB
BC2 = BD×AB
射影定理：1.直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；
2.每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
四．课堂检测
习题 4.9 1,2,3,4
1
2
C
BDA4
五．畅谈收获
通过本节课的学习，您学会了哪些知识和方法？哪里还有困惑？
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