1
第四章 图形的相似
学习目标与
考点分析
学习目标：1、熟练理解运用线段的比 AB:CD=m:n 以及黄金分割
2、明确理解相似三角形和相似多边形的性质
3、熟练运用相似多边形边角关系
考点分析：1、相似比的性质和黄金分割
2、相似多边形的性质和判定定理
学习重点
重点：1、线段比例和黄金分割
2、相似三角形的性质
3、相似三角形的额判定定理
学习方法 讲练结合 练习巩固
学习内容与过程
【知识点梳理】
一. 线段的比
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD 的长度分别是 m、n,那么就说这两条线段的比
AB:CD=m:n ,或写成 .
※2. 四条线段 a、b、c、d 中,如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比,即 ,那么这四条线段 a、b、c、d 叫做成
比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明 a 是 b 的 k 倍;
②由于线段 a、b 的长度都是正数,所以 k 是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了 a=b 之外,a:b≠b:a, 与 互为倒数;
⑤比例的基本性质:若 , 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则
二. 黄金分割
※1. 如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段
AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比.
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
四. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
五. 相似三角形
※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一
样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.2
※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的条件
※1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角
形相似.
①两角对应相等;
②两边对应成比例,且夹角相等;
③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等;
②两条边对应成比例:
a. 两直角边对应成比例;
b. 斜边和一直角边对应成比例.
※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如图 2, l1 // l2 // l3,则 .
※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
八. 相似的多边形的性质
※相似多边形的周长比等于相似比;面积比等于相似比的平方.
九. 图形的位似
※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫
做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又称为位似比.
※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比
例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
【例题讲解】
（一）线段的比
1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比
注：同一长度单位的两条线段 AB 、CD 的长度分别为 m 、n ，那么这两条线段的比 AB ：
CD = m n： 或 ，其中 、 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果AB
CD
m
n AB CD=3
例：线段 a 的长度为 3 厘米，线段 b 的长度为 6 米，所以两线段 a,b 的比为 3∶6=1∶2,对吗？
不对，因为 a、b 的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位.
解：
解：设 x=2k，y=3k，z=4k
2 比例尺=图上距离／实际距离
. 例 1. 已知：A、B 两地的实际距离是 80 千米，在某地图上测得这两地之间的距离为 1cm，则该地图的
比例尺为________。现量得该地图上太原到北京的距离为 6.4cm，则两地的实际距离为__________（用
科学记数法表示）。相距 50 千米的 C、D 两地在该地图上的距离为__________。
解：
答案：1：8000000；5.12×102km；0.625cm
3 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB，CD 的长度分别是 m,n，那么就说这两条线段的比 AB：
CD=m:n，或写成（或 a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
例 1：已知 a、b、c、d 是成比例线段，其中 a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段 d 的长。
4 比例的基本性质：如果 ，那么 ad=bc
五. 合比性质、等比性质：
把 表示成比值 ，那么 或 · 。m
n k AB
CD k AB k CD= =
（ ）若 ，且 ，则 。3 5 3 2 8a b c a b c a= = − + = =
令 ，则 ， ，a b c k a k b k c k5 3 2 5 3 2= = = = = =
a b c k k k k k− + = − + = = =5 3 2 4 8 2
a k= =5 10
（ ）若 ： ： ，则 。4 2 3 4 3 2x y z x y z
y: : = − + =
3 2 3 2 2 3 4
3
6 6 4
3
4
3
4
3
x y z
y
k k k
k
k k k
k
k
k
− + = × − × + = − + = =
比例尺 千米
= =1
80
1
8000000
cm
6 4 8000000 51200000 512 512 102. .× = = = ×cm km km
50
8000000
5000000
8000000
5
8 0 625km cm= = = . （ ）
（ ）若 ，则 。1 5 7a b a
b
= =
（ ）若 ，则 ， 。2 8 5 0x y x
y
x y
x y
− = = +
− =4
.
解：
（2）令 AD=4k，DB=k，AE=4n，EC=n
合比：若 ，则 或a
b
c
d
a b
b
c d
d
a
b a
c
d c
= ± = ±
± = ±
等比：若 …… （若 …… ）a
b
c
d
e
f
m
n k b d f n= = = = = + + + + ≠ 0
则 ……
……
a c e m
b d f n
a
b
m
n k
+ + + +
+ + + + = = =
（ ）若 ，则1 5
7
2 3
2 3
a
b
c
d
e
f
a c e
b d f
= = = + −
+ − =
（ ） 和 中， ，且 的周长3 3
51 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1∆ ∆ ∆ABC A B C AB
A B
BC
B C
AC
A C A B C= = =
为 ，求 的周长。50cm ABC∆
（ ）若 ，则4 a
b c
b
a c
c
a b k k+ = + = + = =
A B C D. . . .1
2 1 1
2 1 3
2
或 − −
（ ）1 5
7
a
b
c
d
e
f
= = =
a
b
c
d
e
f
= = −
− =2
2
3
3
5
7
∴ + −
+ − =a c e
b d f
2 3
2 3
5
7
AB
DB
AD DB
DB
k k
k
k
k
= + = + = =4 5 5
1
EC
AE
n
n
= =
4
1
4
AB
AD
AD DB
AD
k k
k
k
k
= + = + = =4
4
5
4
5
4
EC
AC
EC
AE EC
n
n n
n
n
= + = + = =
4 5
1
5
（ ）3 3
51 1 1 1 1 1
AB BC AC
A B B C A C
+ +
+ + =
l
l
lABC
A B C
ABC∆
∆
∆
1 1 1
3
5 50
3
5
= =
l ABC∆ = 30
（ ）当 时，4 0 2
1
2a b c a b c
a b c
+ + ≠ + +
+ + =
( )5
（二）.黄金分割
如图：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 AB，如果 = 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫
做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金 比。
（1）把长为 8cm 的线段进行黄金分割，较长线段的长是________。
解：
（2）AC 可能是较大线段也可能是较小线段
选 D
（三）相似多边形
1. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。
当 时，a b c b c a+ + = + = −0
∴ + = − = −a
b c
a
a 1
∴ = = −k k1
2 1或
AC
AB
BC
AC
（ ）若点 是线段 的黄金分割点，则2 C AB AC
AB
=
A B C D. . . .5 1
2
5 1
2
5 3
2
5 1
2
3 5
2
− + − + − −或
（ ） ：1 5 1
2 1
AC
AB
= −
AC AB
AC
AC
= −
= −
= −
5 1
2
5 1
2 8
4 5 4
·
·
A C B
AC
AB
= −5 1
2
AC
AB
BC
AB
= − = − − = − + = −
1 1 5 1
2
2 5 1
2
3 5
26
例 10.
（2 ）两个相似三角形对应边上的高的比为 4 ：9 ，它们的周长比为_________ ，面积比为
______________。
（ 3 ）两个 相 似 多 边 形 地 块 的 相 似 比 为 3 ：4 ，面积 差 为 28m2 ， 则 它 们 的 面 积 分 别 为
_________________。
解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3
（2）4：9；16：81
（3）面积比为 9：16，设两个相似地块分别为 9x，16x
（四）相似三角形
1 相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。
定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。
所有的边数相同的正多边形都相似（正三角形，正方形，正五边形等等）
2 相似三角形的判定方法有
（1）两角对应相等，两三角形相似。
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
3 相似三角形的性质：
1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）
的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。
（ ）若四边形 四边形 且 ：四边形 四边形1 A B C D A B C D S SA B C D A B C D1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
~
= + + +
+ + + =1 9 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
： ，则 A B B C C D D A
A B B C C D D A
A B B C C D D A A B C D1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + 是四边形 的周长
A B B C C D D A A B C D2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + 是四边形 的周长
周长比等于相似比 1
3
16 9 28
7 28
4
x x
x
x
− =
=
=
9 36 16 64x x= =，
∴ 它们的面积分别为 ，36 642 2cm cm7
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。
例 11.
G、H 分别在
AC、AB 上，BC=15cm，BC 边上的高 AD=10cm，求正方形的面积。
解：
（2）设正方形边长为 x
（ ）如图，在 中， ， ， ，求 。1 3 48∆ ∆ ∆ABC DE BC AD BD S SABC ADE/ / = =
（ ）如图，在 中，正方形 的两个顶点 、 在 上，另两个顶点2 ∆ABC EFGH E F BC
A
H M G
B E D F C
1
（ ）1 1 DE BC B/ / ∴∠ = ∠
∠ = ∠ ∴A A ADE ABC∆ ∆~
∴ = + = + =AD
AB
AD
AD BD
BD
BD BD
3
3
3
4
∴ = ∴ = ∴ =S
S
S SADE
ABC
ADE
ADE
∆
∆
∆
∆( )3
4 48
9
16 272
则HG HE MD GF EF x
AM AD MD x
= = = = =
= − = −10
正方形HEFG HG BC∴ / / ∴∠ = ∠1 B
∠ = ∠ ∴HAG BAC AHG ABC∆ ∆~
∴ =AM
AD
HG
BC
（相似三角形对应高的比等于相似比）8
ａ
ｂ ｃ
ｄ
ｅ
ｆ
ｋ
一、如何证明三角形相似
例 1、如图：点 G 在平行四边形 ABCD 的边 DC 的延长线上,AG 交 BC、BD 于点 E、F，则
△AGD∽ ∽ 。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例 1、△ABC 中，在 AC 上截取 AD，在 CB 延长线上截取 BE，
使 AD=BE，求证：DF AC=BC FE
例 2：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=900，M 是 BC 的中点，DM⊥BC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D。
求证：（1）MA2=MD ME；（2）
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例 1：已知：如图 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 AD 上的点，且
∴ − =10
10 15
x x
15 10 10
150 15 10
15 10 150
25 150
6
( )− =
− =
− − = −
− = −
=
x x
x x
x x
x
x cm（ ）
S cm正方形 （ ）= =6 362 2
• •
•
MD
ME
AD
AE =
2
2
A
B C
D
E
F
G
A
B C
D
E
M
1
2
ཁ
B 睃
湄
齅
텆
G
ᜱ
ᜱ
ᜱ
縴9
。
求证：∠AEF=∠FBD
课内练习与训练
一. 填空题
1. 已知 ________， =__________。
2. 上午 8 时，某地一根长 1m 的标尺直立地面，其影长为 1.4m，同时测得一建筑物影长为 43.4m，则
该建筑物高度为________m。
已 知 ， 点 P 、
_________，
=_____________， =______________。
4. 如图，在 中，DE//BC， =_________，如果 BC=16，则 DE=___________。
5. 如图，CD 是 的斜边 AB 上的高，若 AC=4cm，AD=2cm，则 AB=______cm。
6. 已知一个三角形三边之比为 4：5：6，另一个和它相似的三角形的最短边长为 6cm，则其余两边之
和为_________cm。
二. 选择题
7. 如果线段 a=4，b=16，c=8，那么 a,b,c 的第四比例项 d 为（ ）
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
8.下列命题：（1）如果 相似，一定可以写成 ；（2）有一个锐
角对应相等的两直角三角形一定相似；（3）两个相似三角形的面积比为 1：9，则它们的周长比为 1：
3；（4）两个位似图形一定相似，其中错误的命题的序号是（ ）
3
1==
AD
AF
AB
EB
2 3 0x y x
y
− = =，则 x y
y
−
∆ ∆ABC A B C AB
A B AD BC D A D B C D~ ' ' ' ' ' ' ' ' '，且 ， 于点 ， 于点= ⊥ ⊥2
P BC B C BP BC B P B C AD
A D' ' ' ' ' ' ' ' '
分别在 和 上， ， ，则= = =1
3
1
3
BP
B P' '
S
S
ABP
A B P
∆
∆ ' ' '
∆ABC
AD
BD
AE
AC
= 1
2
，则
Rt ABC∆
∆ ∆ABC A B C和 ' ' ' ∆ ∆ABC A B C~ ' ' '10
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
9. 如图，某铁道口安全栏杆的短臂长 1m，长臂长 15m，当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高（ ）
A. 30m B. 7.5m C. 14.5m D. 15.5m
10. 如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC=2cm，那么 AB 的长为（ ）
A. 4cm B. C. D.
三. 解答题
11. 已知：点 O 和 （如图），
（1）以点 O 为位似中心，画 的位似图形 ，使 与 在点 O 同一侧，且它
们的位似比为 3：1；
（2）以点 O 为位似中心，画 的位似图形 ，使 在点 O 的两侧，且它
们的位似比为 3：1；
（3）考察 有什么位置关系。
12. 如图，在 中，DE//BC，EF//AB，若 ，求 。
( )1 5+ cm ( )1 5− cm ( )3 5+ cm
∆ABC
∆ABC ∆DEF ∆DEF ∆ABC
∆ABC ∆MNP ∆ ∆MNP ABC与
∆ ∆ΜDEF NP与
∆ABC S cm S cmADE EFC∆ ∆= =4 92 2， S ABC∆11
学生收获
你这次课一定有不少收获吧，请写下来：
教学反思
本次课后作业
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