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第四章 图形的相似
知识回顾与例题讲解
1、线段的比与成比例线段
相关定义：
线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段 , 的长度分别是 ， ，那么就说这
两条线段的比 ，或者写成 。其中，线段 ， 分别叫做这个线段
比的前项和后项。如果把 表示成比值 ，那么 ，或
比例线段：四条线段 ， ， ， 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四
条线段 ， ， ， 叫做成比例线段，简称比例线段
比例线段性质：
如果 ，那么
如果 ( ， ， ， 都不等于 0)，那么
如果 ，那么
如果 ，那么
例题：
(1) 若 ∶3 = ∶4 = ∶5 , 且 , 则 ；
(2) 已知 ∶ ∶ = 3∶4∶5 , 且 , 那么 ；
(3)若 , 则 ；
(4) 已知 ∶4 = ∶5 = z∶6 , 则 ① ∶ ∶z = , ② ∶ ；
2、黄金分割
定义：如下图所示，设点 是线段 上一点，点 把线段 分成两条线段 和 ，若
，妈妈称线段 被点 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点， 与 叫做
黄金比
例题
（1）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．某女士身高
165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大
AB CD m n
: :AB CD m n= AB m
CD n
= AB CD
m
n k AB kCD
= AB k CD=
a b c d a b c d a c
b d
=
a b c d
a c
b d
= ad bc=
ad bc= a b c d a c
b d
=
a c
b d
= a b c d
b d
± ±=
( 0)a c m b d nb d n
= = = + + ≠
a c m a
b d n b
+ + + =+ +
a b c 6=−+ cba ___________,____, === cba
x y z 12=++ zyx _________,____, === zyx
4
3===
f
e
d
c
b
a ______=++
++
fdb
eca
x y x y )( yx + ____)( =+ zy
C AB C AB AC BC
AC BC
AB AC
= AB C C AB AC AB
A C B2
约为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
（2）如图是一种贝壳的俯视图，点 分线段 近似于黄金分割．已知 =10cm，则 的长约为
cm．（结果精确到 0.1cm）
3、相似多边形
相似多边形：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比
4、相似三角形
定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。 与 相似，记
作
两个三角形相似与否的判定定理
两角对应相等的两个三角形相似
三边对应成比例的两个三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
例题：
(1) 三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成影子（如图 4 所示）.现测得 ，
这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
(2) 如图 8 所示，给出下列条件：
① ；② ；
③ ； ④ ．
其中单独能够判定 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
(3) 如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
5、相似多边形的性质
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比
C AB AB AC
ABC DEFABC DEF ∽
O 20cm 50cmOA OA′= =，
B ACD∠ = ∠ ADC ACB∠ = ∠
AC AB
CD BC
= ABADAC •=2
ABC ACD△ ∽△
ABC△3
相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
例题：
（1）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已
知 AB＝AC＝3，BC＝4，若以点 B′，F，C 为顶点的
三角形与△ABC 相似，那么 BF 的长度是 ．
（2）在 和 中， ，如果 的周长是 16，面积是 12，
那么 的周长、面积依次为（ ）
A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，6
（3）如图， 中， 直线 交 于点 交 于点 交 于点 若
则 ．
6、图形的放大与缩小
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图
形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这是的相似比又称为位似比。
位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
课堂演练：
1．若△ABC∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为 1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ）
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶1 D．1∶
2．如图， 中， 于 一定能确定 为直角三角形的条件的个数是（ ）
① ② ③
④ ⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知 与 相似且面积比为 4∶25，则 与 的相似比为 ．
ABC△ DEF△ 2 2AB DE AC DF A D= = ∠ =∠， ， ABC△
DEF△
Rt ABC△ 90ACB∠ = °， EF BD∥ ， AB E， AC G， AD F，
1
3AEG EBCGS S=△ 四边形 ， CF
AD
=
2
ABC△ CD AB⊥ D， ABC△
1 A∠ = ∠ ， CD DB
AD CD
= ， 2 90B∠ + ∠ = °，
3 4 5BC AC AB =∶ ∶ ∶∶ ， CDACBDAC •=•
ABC△ DEF△ ABC△ DEF△4
4．两个相似三角形的周长比为 ，则面积比为 （ ）
（A） （B） （C） （D
5．如图，△ABC 与△AEF 中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB 交 EF 于 D．给出下列结论：
①∠AFC＝∠C； ②DF＝CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD＝∠CAF．
其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）．
6．如上图，已知零件的外径为 25mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等，OC=OD）量零件的内孔
直径 AB．若 OC∶OA=1∶2，量得 CD＝10mm，则零件的厚度 x＝ mm．
7．如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC，
AD=4，DB=8，DE=3，
（1）求 的值；
（2）求 BC 的长．
8．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB 和△DCE 的顶点都
在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F．
（1）求证：△ACB∽△DCE；（2）求证：EF⊥AB．
9．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情
况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点 E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子
重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度 CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点 A、E、
C 在同一直线上）．
已知小明的身高 EF 是 1.7m，请你帮小明求出楼高 AB（结果精确到 0.1m）．
9:4
9:4 18:8 81:16 3:2
AD
AB5
10 .E 为正方形 ABCD 的边上的中点，AB = 1 ，MN⊥DE 交 AB 于 M，交 DC 的延长线于 N，求证：⑴ EC
= DC·CN； ⑵ CN = ； ⑶ NE = ；
11.已知，如图，梯形 ABCD 中，AB∥DC，梯形外一点 P，连结 PA、PB 分别交 DC 于 F、G，且 DF = FG，
对角线 BD 交 AF 于 E，求证：AP∶PF = AE∶EF
12、如图,Rt△ABAC 中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 边上一点,作 PE⊥AB 于 E,PD⊥AC 于 D,设 BP=x,则
PD+PE=（ ）
A. B. C. D.
2 4
1
4
5
A B
CD
E
M
N
3
5
x + 4
5
x− 7
2
212 12
5 25
x x−
A B
CD F
P
G
E
A
B
C
D
E
P6
13、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网 6 米的位置上，则球拍击球的高度 h
为（ ）
A、 B、 1 C、 D、
14、如图，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N．
求证：（1） ；
（2）
15、如图下左，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=
∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若∆ABC 固定不动，∆AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为
D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m，CD=n.
（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.
（2）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量 n 的取值范围.
（3）以∆ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如
图下右).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计算验证 BD ＋CE =DE .
（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD ＋CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明
理由.
8
15
4
3
8
5
CGAE =
.MNCNDNAN •=•
2 2 2
2 2 2
6 米
0.8
米 4 米
h 米7
16、如图，四边形 和四边形 都是平行四边形，点 为 的中点， 分别交 于
点 ．
（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外）；
（2）求 ．
17、如图，在△ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DC＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的
中点，连结 EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面积.
课后作业
一、
1．在比例尺为 1∶500000 的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离为 46 厘米，则福州到漳州实际距
离约为 千米．
2．若线段 ， ， ， 成比例，其中 ， ， ，则 ．
3．已知 ，则 的值为 ．
4 ． 两 个 相 似 三 角 形 面 积 比 是 9 ∶ 25 ， 其 中 一 个 三 角 形 的 周 长 为 36cm ， 则 另 一 个 三 角 形 的 周 长
是 ．
5．把一个矩形的各边都扩大 4 倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍．
6．厨房角柜的台面是三角形(如图 1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成
白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ．
ABCD ACED R DE BR AC CD，
P Q，
: :BP PQ QR
a b c d 5cma = 7cmb = 4cmc = d =
4 5 0x y− = ( ) :( )x y x y+ −
A
B C
D
E
P O R8
8 ． 在 同 一 时 刻 ， 高 为 1.5m 的 标 杆 的 影 长 为 2.5m ， 一 古 塔 在 地 面 上 影 长 为 50m ， 那 么 古 塔 的 高
为 ．
9．如图 3， 中， ， ， ， ，则 ．
10．如图 4，在 和 中， ， 与 的周长之差为 10cm，
则 的周长是 ．
二、
1．在下列说法中，正确的是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似
B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似
D．两个等边三角形一定相似
2．如图 5，在 中， ， 分别是 、 边上的点， ， ， ，
则 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
3．如果三角形的每条边都扩大为原来的 5 倍，那么三角形的每个角（ ）
A．都扩大为原来的 5 倍
B．都扩大为原来的 10 倍
C．都扩大为原来的 25 倍
D．都与原来相等
4．如图 6， 在 中， ， 于 ，若 ， ，则 （ ）
ABC△ DE BC∥ 2AD = 3AE = 4BD = AC =
ABC△ EBD△ 5
3
AB BC AC
EB BD ED
= = = ABC△ EBD△
ABC△
ABC△ D E AB AC DE BC∥ 30ADE = ∠ 120C = ∠
A =∠
Rt ABC△ 90ACB = ∠ CD AB⊥ D 1AD = 4BD = CD =9
A．2 B．4 C．2 D．3
5．如图 7， ， ， 分别是线段 和线段 的中点，那么线段 的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．3
6．如图 8，点 是 的边 延长线上的一点， 与 相交于点 ， 是 的对角
线，则图中相似三角形共有（ ）
A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对
7．如图 9，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是（ ）
8．如图 10，梯形 的对角线交于点 ，有以下四个结论：
① ； ② ；
③ ；④ ．
其中始终正确的有（ ）
A． 1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．如图 12，梯形 中， ， ， 为 上一点，且 ． 若 ，
，BE∶EC=1∶2，求 AB 的长．
6BC = E F AB AC EF
E ABCD BC AE CD G AC ABCD
ABCD O
AOB COD△ ∽△ AOD ACB△ ∽△
: :DOC AODS S DC AB=△ △ AOD BOCS S=△ △
ABCD AB DC∥ 90B = ∠ E BC AE ED⊥ 12BC =
7DC =
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